Omega: La Biblioteca de Babel Matemática

 Se suele afirmar que Gödel vino a demostrar cómo la matemática NO era reducible a la lógica.

En realidad, un decreto así de genérico posiblemente exceda la competencia de aquellos teoremas de incompletitud.

Quienes quieren negarle el realismo a las matemáticas, afinan también que no se puede reducir toda la matemática a un principio anhipotetico o autoevidente, ahora bien, si las matemáticas son en ultima instancia algo lógico pero la lógica no da cuenta de todas las matemáticas, a mi juicio me temo, pasa que hay algo que estamos formulando mal.

¿La matematica puede ser i-logica? Piénsalo bien: si es que no, todo tendría que poderse enumerar dentro de un sistema lógico. 

A mi juicio, la clave en Gödel radica en la finitud enumerativa de los axiomas que de efectivamente contenerse así la axiomatica, ésta no sería omniefable.

Pero se puede simultanear una infinita significación de valores de verdad con una sola proposición verdadera: la paradoja del cuervo de Hempel lo ilustra.

Podríamos pensar en las Compuertas de Hempel como aquella verdad que al confirmarse simultáneamente falsea o reafirma otras infinitas y concurrentes verdades: esta cualidad holística que de manera axial sincronizaría una mecánica de recorrido infinitesimal es la que justifica que su irreplicablilidad en un mecanismo comprobatorio cuyo varillaje tuviera un alcance finito, vale decir, un sistema formal finitamente axiomatizable.

Imagina que se te diera poder adivinar un número, que será el PI, dejándote el mapear su cada dígito uno a uno. Y según vas acertando, traspasas puertas que fueron más grandes que las siguientes del siguiente umbral. Empezamos con la unidad, que será "3" y que descarta las concurrentes en ese umbral: la "0", "1", ..., "9". 

Llegando a los decimales, traspasarás la "1".  

Y llegando a centesimales, la "4". 

Ad infinitum. 

Fíjate que en cualquier momento en que estés, tendrás infinitas puertas por delante potencialmente inaugurales, pero igualmente, otras tantas previas, también de carácter infinito, fueron cerradas.

Que ese mapa que te guía decimal a decimal en un recorrido, a la postre, infinitesimal, tras un número NO significa que mi mapa sea finito.

PI es un número bellísimo pero aquí no suficientemente corrosivo metafísicamente.

Escojamos Omega de Chaitin y escribamos a cuatro manos con DeepSeek sus tecnicismos.

Omega es un número que emerge de la Teoría Algorítmica de la Información. Representa la probabilidad de que un programa, elegido al azar, para una máquina de Turing universal, se detenga. 

Como marca una probabilidad, es un número real entre 0 y 

Imagina que tienes una computadora ideal (una Máquina de Turing universal).

Le das como entrada todos los programas posibles, vale decir, todas las combinaciones posibles de bits: 0, 00, 01, 10, 11, 000, 001, ... 

Bien. 

Cada programa es una secuencia de bits, obvio, y es como lanzar una moneda (0 o 1) para cada posición del programa.

La Omega de Chaitin (Ω) es la probabilidad de que, al elegir un programa de esta manera aleatoria, ese programa eventualmente se detenga en lugar de ejecutarse para siempre  como sería en el caso de entrar en un bucle infinito (tipo la paradoja del mentiroso o cualquier bucle autorreferencial de ese jaez).

Para ello habría que sumar todas las probabilidad de cuelgue de cada uno de todos los programas posibles.

Veremos cómo Chaitin es capaz de ordenar estas totalidades de un modo tal --como si dijéramos entrar en el Hotel Infinito de Hilbert cada programa-- que cada dígito va a poder aportarnos información valiosa.

Efectivamente: cada dígito --cada bit, en su expresión binaria-- de Ω codificará la solución al Problema de la Parada para un programa específico.

Omega es un valor único y específico. 

Para una Máquina de Turing universal dada, hay una respuesta definitiva para cada programa: se para o no se para. Por lo tanto, la probabilidad Ω está rigurosamente definida y tiene un valor real único entre 0 y 1. No es una probabilidad estimada o aproximada; es un número tan concreto como π o  cualquier otro. 

Ahora bien, saber el dígito en la posición un millón de π no nos dice nada fundamental sobre el universo, y sin embargo, saber el dígito en la posición un millón de Omega sí nos daría un hecho específico y veraz y esto es así porque cada dígito (bit) de la Omega de Chaitin no representa una cantidad numérica en el sentido usual, sino un hecho de la lógica: la respuesta al problema de la parada para un programa con una complejidad algorítimica específica.

Lo que haremos es cartografiar o categorizar todas las probabilidades de que un programa se "detenga" en subconjuntos de programas con una complejidad algorítmica ordenada de menor (1 bit) a mayor complejidad (n bits).

Y adjudicarle al primer decimal aquellos programas de un bit. Al segundo decimal, los de dos bits. 

Así sucesivamente. 

Con este método ordenador (de ponerle orden), Chaitin logró forjar la forma estándar de definir Omega, que como dije, consiste en ordenar los programas por longitud.  

¿Por qué este orden? Porque está directamente ligado a la complejidad algorítmica (o complejidad de Kolmogorov) de los programas. Un programa más corto tiene, por definición, menor complejidad algorítmica. Este orden nos garantiza que los programas más simples (y por lo tanto, más fáciles de analizar) van primero.

Para que cada programa contribuya con un bit independiente en la secuencia, es absolutamente necesario que el conjunto de programas esté prefix-free (libre de prefijos). Esto significa que ningún programa válido es el comienzo (prefijo) de otro programa válido. Esto evita ambigüedades.

¿Cómo se logra esto en la práctica?
Se suele usar un orden como el aquí propuesto:

1. Todos los programas de longitud 1.
2. Todos los programas de longitud 2.
3. Todos los programas de longitud 3.
4. Y así sucesivamente.

Dentro de cada longitud, se ordenan lexicográficamente (0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, ...).

Ahora, ¿cómo se construye Omega a partir de este orden? La fórmula es:

Ω = Σ (para cada programa que se para) 2^(-longitud_del_programa)

Veámoslo con un ejemplo simplificado:

1. Imaginamos todos los programas ordenados por longitud.
2. Para cada programa que sí se detiene, contribuye a la suma total de Omega con un valor: 2^(-n), donde n es su longitud.
3. Los programas que no se detienen, contribuyen con 0.

Supongamos que analizamos estos primeros:

0- El programa 0 (longitud 1) se para. Contribuye: 2⁻¹ = 0.1 (en binario, que es 0.5 en decimal).

1-El programa 1 (longitud 1) NO se para. Contribuye: 0.

2- El programa 00 (ahora longitud 2) se para. Contribuye: 2⁻² = 0.01 (en binario ocupa o suma la tercer posición del número omega y por tanto no cambia o estorba a los anteriores decimales de complejidad menor) = 0.25 (decimal).

3- El programa 01 (longitud 2) NO se para. Contribuye: 0.

4- El programa 10 (longitud 2) se para. Contribuye: 2⁻² = 0.01 (binario).

5- El programa 11 (longitud 2) se para. Contribuye: 2⁻² = 0.01 (binario).

La suma hasta ahora sería en binario: 0.1 + 0 + 0.01 + 0 +  0.01 + 0.01 = 0.1011 (binario).

6-...

Este valor en binario 0.1011... significa que:

• El primer bit (dígito binario) tras la coma es 1 (porque el primer programa se paró).
• El segundo bit es 0 (porque el segundo programa no se paró).
• El tercer bit es 1 (porque el tercer programa se paró).
• El cuarto bit es 1 (porque el cuarto programa se paró).
• ...y así.

Obviamente, NO sabremos en qué decimal de Omega terminan "Todos los programas de longitud 1" y empiezan "Todos los programas de longitud 2" pero no lo necesitamos saber para realizar una mudanza ordenada de decimales. 

La expansión binaria de Omega comienza así, basada en la tabla:
Ω = 0.1 0 1 0 1 1 ... (binario)

• Bit 1 (Valor 2⁻¹): Definido únicamente por el programa 0.
• Bit 2 (Valor 2⁻²): Definido únicamente por el programa 1.
• Bit 3 (Valor 2⁻³): Definido únicamente por el programa 00.
• Bit 4 (Valor 2⁻⁴): Definido únicamente por el programa 01.
• Bit 5 (Valor 2⁻⁵): Definido únicamente por el programa 10.
• Bit 6 (Valor 2⁻⁶): Definido únicamente por el programa 11.

Como ves, así no se "amontonan" las probabilidades de cada programa en un mismo

La razón por la que funciona es que el peso 2⁻|p| de cada programa es suficientemente pequeño para que su contribución (un 1 en una posición específica) no cause "acarreos" que modifiquen los bits asignados a programas anteriores en la lista. Cada programa "reclama" su propio bit único en la expansión infinita de Omega.

Al ordenar por longitud, los bits de Omega se van rellenando en orden, y cada bit corresponde exactamente al destino (parada o no parada) de un programa específico en esa lista ordenada. 

Gregory Chaitin demostró un teorema crucial: Sólo podemos determinar un número finito de bits de Ω.

Llegará un punto en el que para determinar si un programa de, digamos, 10,000 bits se para, necesitarías demostrar una afirmación matemática que es indemostrable con los axiomas actuales de ZFC. Ese bit concreto de Omega (aquí inventado que fuera esa posición) se convierte en una verdad que no podemos alcanzar desde nuestro actual sistema formal finitamente axiomatizable.

Para calcular ese bit, necesitaríamos añadir un nuevo axioma al sistema. Ese nuevo axioma sería, de hecho, la declaración de que "este programa específico se para" (o no se para)

La secuencia de dígitos (en binario o en cualquier base) es aleatoria en el sentido algorítmico. Esto es crucial y va mucho más allá de simplemente "no tener un patrón". Significa que la secuencia de bits de Ω es in-compresible (NO se puede comprimir): la única manera de describir sus primeros n bits es, esencialmente, enumerarlos uno por uno. No existe una descripción formulaica o programa significativamente más corta que n para generar esa secuencia.

Repito: existe un bit N (no sabemos cuál, pero existe) a partir del cual ningún ser finito, usando cualquier sistema finito de razonamiento, podrá jamás conocer el valor de los bits subsiguientes sin cambiar fundamentalmente las reglas del juego (añadiendo nuevos axiomas).

Por cierto, da que pensar que éste número sirviera de ranking universal de sistemas matemáticos con el que poder chulearnos unos extraterrestres: Omega actúa como un medidor de la fuerza de las matemáticas: cuantos más bits conozcas, más potente es tu sistema de axiomas.

Pues bien, lo formularé así para que se entienda mi interpretación de Gödel: 

NO hay un bit n de Omega del que sepamos que nunca sabremos su valor: simplemente nos llevaría infinito tiempo ir sabiendo cada unos de sus decimales, si bien, seguro que habrá ocasiones en que nuestro sistema finito de axiomas deberá ser ampliado, es más, si llegáramos al tiempo infinito de ir sabiendo (recalco la conjugación en gerundio del verbo) sus infinitos decimales tendríamos que estamos teniendo un sistema axiomático infinito.

 Si de algún modo pudiéramos completar este proceso hasta el "tiempo infinito", habríamos creado efectivamente un sistema axiomático infinito que contiene un axioma para cada bit de Ω

Esto NO choca con la idea de que Ω es un objeto matemático de una complejidad irreducible, al contrario, la única manera de "conocerlo" por completo es ser igual de complejo que él: tener una cantidad infinita de información (un número infinito de axiomas).

Mi interpretación de Gödel es: no es que haya verdades que nunca sabremos, sino que el conocimiento matemático requiere una expansión infinita de nuestros axiomas. 

Omega ejemplifica esto perfectamente.

Gödel no muestra que las matemáticas no sean reducibles a la lógica, sino que cualquier reducción finita es necesariamente incompleta. 

Omega de Chaitin es el paradigma de que el universo matemático contiene verdades irreductiblemente infinitas que exigen, para su conocimiento total, un sistema axiomático igualmente infinito. 

Esto no i-lógica la matemática, al contrario, revela su profunda lógica infinitesimal.

Añado. Un extraterrestre, digamos, que no tuviera dedos podría encontrarse con que problemas que nosotros hemos resuelto de primeras a fuer de haber construido una matemática digital (que se puede contar con los dedos) estaban para ellos al otro extremo de sus premisas neurobiológicas de partida y logros civilizacionales

Supongamos a marcianos quirópteros al albur de la ecolocalización, de modo que su matemática es analógica y espiralizada en torno a series de Fourier. Estos habrían podido encontrar antes una Criptografía de curvas elípticas que nuestra RSA, la cual, se construye en torno a una condensación

matemática objetual, los números primos, de carácter digital, falangista, a dedo de nuestro cuerpo, vaya.

Sería como habernos encontrado en la misma Montaña pero siendo empezada a excavar desde lugares opuestos: lo que para nosotros podría ser unas primeras etapas de profundización, para ellos sería el culmen de toda una historia de sondeos matemáticos (aunque su matemática tenga mayor recorrido).

Esto explicaría por qué la demostración de Paul Cohen a propósito de la Hipótesis del Continuo, una vez más, NO impugna el realismo matemático y sólo da muestra de que nuestra viaje por las Montañas de la locura no puede detenerse en ningún número n de pasadizos.

Insisto: Esto no i-lógica la matemática, al contrario, revela su profunda lógica infinitesimal.