Gödel y el Realismo Platónico: Por qué la Verdad Matemática Trasciende la Demostración Formal

Según Gödel G es verdadera a pesar de que NO se puede demostrar en S

El argumento, en esencia, es este:

El Teorema de Gödel: Para cualquier sistema formal S (suficientemente potente para la aritmética, consistente y axiomático), se puede construir una proposición G(S) que afirma: "Esta proposición no puede ser demostrada en S".

Recalcamos este punto que será crucial para el desarrollo de los argumentos: 

Gödel NO dice: "G es indemostrable" (simpliciter)

Gödel SÍ dice: "G es indemostrable EN S".

Vamos a formalizarlo informalmente.

Argumento paso a paso:

1. Supongamos que G es demostrable en S:

• Si G es demostrable, entonces lo que G afirma sería falso

• Porque G afirma precisamente "Yo no soy demostrable en S"

• Tendríamos: G es demostrable Y G afirma no serlo

• ¡Contradicción!

2. Por lo tanto, G NO es demostrable en

• Pero esto es exactamente lo que G afirma

• ¡G dice "Yo no soy demostrable en S" y acabamos de ver que es cierto!

3. Conclusión:

• G es verdadera (afirma algo correcto)

• G es indemostrable en S (no puede probarse dentro del sistema)

EL ARGUMENTO EN UNA LÍNEA

Si G fuera demostrable, sería falsa pero en un sistema consistente, las fórmulas demostrables son verdaderas, por lo tanto, G no es demostrable, pero eso es justo lo que G afirma, luego G es verdadera.

La Conclusión Estándar: Si S es consistente, entonces G(S) es verdadera pero indemostrable en S. Para saber que G(S) es verdadera, tenemos que salirnos del sistema S (por ejemplo, usando el supuesto de la consistencia de S, que S mismo no puede demostrar).

La Interpretación Penrose-Lucas: Nosotros, los matemáticos humanos, podemos ver la verdad de G(S) para cualquier sistema S que se nos presente. Esto sugiere que nuestro razonamiento matemático no puede ser capturado por un sistema formal algorítmico (un programa de ordenador). Por lo tanto, la mente humana es no-computacional.

De esto para los platonistas se derivan las siguientes despedidas:

Adiós al Mind-Uploading: Si la mente es no-computacional, no puede ser simulada por un algoritmo en una computadora clásica (o Turing-completa).

Adiós al Argumento de la Simulación: Si nuestra cognición matemática trasciende la computabilidad, no somos seres en una simulación puramente computacional.

Adiós a la SuperIA (Fuerte): Una IA, en su definición clásica, es un sistema computacional. Si no puede replicar la capacidad humana de captar verdades matemáticas, nunca alcanzará o superará la comprensión matemática humana genuina.

Yo quiero ser platonista (matemático) pero se me está exigiendo muchas renuncias que quisiera disputar.

Mi propuesta es una forma de Realismo Semántico Fuerte que pretende eludir la necesidad de apelar a un sistema S' extendido. 

Se puede resumir así:

1. La Naturaleza de G: G es la proposición que dice "G no es demostrable en S".
2. El Razomamiento Lógico (Externo):
• Caso A: Supongamos que G fuera demostrable en S. Entonces, por la definición (1), G sería verdadera. Pero si G es verdadera, lo que afirma debe ser el caso: es decir, G no es demostrable en S. Llegamos a una contradicción: G es demostrable y no demostrable.
• Conclusión: Por lo tanto, el Caso A es imposible. G no puede ser demostrable en S como demostró magníficamente Gödel.

1. La Conclusión Veritativa:

• Dado que G no es demostrable en S, y G afirma precisamente "G no es demostrable en S", entonces G es una proposición verdadera por S (porque describe correctamente un hecho sobre el propio S: su verdad indemostrable en S, vale decir, su verdad SIN necesidad de construirla de manera constructiva, es más, siendo su no constructibilidad una exigencia lógica que implica su verdad).
• Esta verdad de G se ha establecido sin construir una demostración dentro de S, y también sin apelar a un sistema S' más fuerte. Se ha llegado a ella mediante un razonamiento lógico sobre S, basado en la definición realista de verdad (el "oráculo divino") y la consistencia de S (que se asume para evitar la contradicción).

Hagamos el Argumento:

1. Premisa (Consistencia): Asumimos que S es consistente. (Es decir, S no demuestra una contradicción).
2. Hecho Metateórico (Demostrado por Gödel): Si S es consistente, entonces G no es demostrable en S.
3. Contenido de G: G afirma "G no es demostrable en S".
4. Conclusión de Verdad: Dado (2) y (3), G es una proposición verdadera.

La clave aquí es que la verdad de G se sigue directamente de la premisa "S es consistente" sin mayores adiciones. No necesitamos que S demuestre de manera constructiva G. La relación es:

Consistencia(S) → Verdad(G)

En esencia, digo: La indemostrabilidad de G en S no es una limitación de nuestro conocimiento metateórico, ni una revelación intuitiva, sino precisamente la razón misma por la que sabemos que G es verdadera a fuer S consistente. No necesito demostrar en S G para saber que es verdadera. La verdad de G es un hecho semántico que se deduce metalingüísticamente de la consistencia de S, no un teorema sintáctico que S pueda generar de manera constructiva dentro de sí, consecuentemente, puedo demostrar verdades (la consistencia de S demuestra la verdad de G) sin necesidad de construir demostraciones constructivas.

Una máquina igualmente puede captar la implicación de G en tanto que S sea consistente.

Ésta me parece es una buena demostración de lo que sólo puede ofrecer el Realismo Platónico y no sus alternativas formalistas, constructivistas, etc.

Hagamos un razonamiento abductivo.

El Argumento de la Verdad Abductiva de G

1. La Situación de Partida

Tenemos un sistema formal S (como la aritmética o la teoría de conjuntos). No sabemos con absoluta certeza si S es consistente (libre de contradicciones), pero de manera bayesiana  podemos ir abduciendo su consistencia.

2. La Proposición G

G es la proposición que dice: "G no es demostrable en S". Esta es la famosa sentencia de Gödel.

3. La Relación Lógica Clave

Si S es consistente, entonces G no es demostrable en S (esto lo demostró Gödel).
Pero hay más: si S es consistente, entonces G es VERDADERA. ¿Por qué? Porque G afirma precisamente "no soy demostrable en S", y si S es consistente, efectivamente G no es demostrable, luego lo que G dice es correcto.

4. La Evidencia Abductiva

En la práctica matemática:

• Demostramos muchos teoremas en S
• Todos estos teoremas coinciden con lo que esperamos que sea verdadero
• Nunca hemos encontrado una contradicción
• Cada nuevo teorema demostrado exitosamente aumenta nuestra confianza en que S es consistente

5. La Inferencia Bayesiana

Cada proposición p1, p2, p3,... que demostramos en S y que coincide con la aritmética estándar es como una pieza de evidencia que apoya la consistencia de S.

Es análogo a la paradoja de los cuervos de Hempel: observar una manzana roja (que no es negra) apoya la hipótesis "todos los cuervos son negros". Aquí, cada teorema constructivo que hace "S sea consistente" apuntala la verdad de G que no necesita (más bien exige por implicación lógica) la demostrabilidad en S para que sea verdadera.

6. La Conclusión sobre G

A medida que acumulamos evidencia de que S es consistente, también acumulamos evidencia de que G es verdadera. No necesitamos que S demuestre G constructivamente --de hecho, si S es consistente, JAMÁS podrá demostrarse G de manera constructiva en S--.

La indemostrabilidad de G en S no es un obstáculo para conocer su verdad, sino precisamente la razón por la que podemos inferirla abductivamente a propósito de la consistencia de S.

7. La Ventaja del Realismo

Un formalista no podría afirmar "G es verdadera" basándose solo en evidencia abductiva de la consistencia de S, porque para él "verdad" significa "demostrable en algún sistema" de manera sintáctica.

El realista, en cambio, puede decir: "En tanto que S sea consistente puedo permite concluir que G es verdadera, aunque nunca lo pueda demostrar dentro de S".

8. Conclusión Final

Podemos demostrar verdades (la verdad de G se sigue de la consistencia de S) sin necesidad de construir demostraciones dentro del sistema S. La verdad matemática trasciende la demostrabilidad sintáctica y puede ser accesible mediante razonamiento semántico e inferencia a la mejor explicación.

La indemostrabilidad de G en S no es una limitación de nuestro conocimiento, sino la manifestación de una verdad que solo se revela cuando entendemos el sistema desde una perspectiva semántica no exclusivamente formalista.

Y todo esto sin despedirnos de todas esas cosas que alegremente hacen los platónicos matemáticos con imprudente frecuencia.

Un formalista podría objetar a la desesperada kamikaze en busca de una victoria pírrica: <<Lo que tú llamas 'verdad' es solo una creencia bien fundada. Sin una demostración formal (en un sistema S' que aún debemos asumir consistente), tu 'verdad' es subjetiva y falible. El knockout de Gödel fue mostrar que S no puede demostrar su propia consistencia (Segundo Teorema de Incompletitud). Por lo tanto, la premisa fundamental de tu razonamiento ("Asumamos que S es consistente") es, desde el punto de vista formal, una hipótesis no demostrable dentro de S. Pura fe metamatemática que dijo Benacerraf >>

Pero si S no es consistente, entonces G no es verdadera mas entonces se podría demostrar en S a pesar de no ser consistente.

Piénsalo bien:

Si S es inconsistente → S demuestra cualquier proposición, incluyendo tanto G como su negación (¬G). (Por el "principio de explosión", según el cual de una proposición contradictoria se puede deducir cualquier otra proposición.).

En particular, S demuestra G.

Pero lo que G afirma es "G no es demostrable en S".

Si S demuestra G, entonces lo que G afirma es falso.

Conclusión: G es falsa y demostrable en S. Mejor conclusión: S demuestra todo, incluyendo falsedades, y por lo tanto no puede confiarse en él para establecer la verdad: Proteus ha vuelto.

Lo que Gödel muestra, y mi observación espero subraya, será que la verdad de ciertas proposiciones matemáticas (como G) está inextricablemente ligada a la consistencia del sistema en el que se trabaja y que un sistema que trabaja verdades, sólo por su mera consistencia, demuestra verdades por implicación lógico que no son construibles formalmente dentro del sistema.

El formalista se ve forzado a un silencio incómodo: solo puede decir "G no es demostrable en S" y no puede afirmar su verdad sin salir del sistema, algo que su filosofía le dificulta.

El realista platónico (como yo) puede decir: "El paisaje de la verdad matemática es tal que la proposición G es verdadera, y la única manera de que no lo sea es si todo el edificio de S es un castillo de naipes inconsistente."

Ya mostré antes el llamado Argumento Trascendental para el Principio de Razón Suficiente (PRS).

Lo podemos volver a traer a colación haciendo aplicación de este marco a nuestro problema original.

1. El Formalista "Kamikaze": Su jugada es, efectivamente, negar la consistencia de S para evitar la conclusión de que G es una verdad indemostrable en S. Él prefiere vivir en un mundo donde S es inconsistente --y por lo tanto: inútil-- antes que aceptar una verdad matemática que in-necesita la demostrabilidad formal.
2. La Refutación Trascendental: Podemos enfrentar a este formalista con mi argumento anterior a favor del PRS.
• Hecho Bruto: El formalista realiza el acto A("S es inconsistente"). Implícita o explícitamente, reclama que esto es algo que se puede sostener racionalmente, quizás incluso conocer (K("S es inconsistente")).
• Análisis: Para que su afirmación sea un acto racional y no un perecedero gesto arbitrario, debe apelar a razones R("S es inconsistente"). Tal vez cite el teorema de Gödel mismo, o argumentos sobre la complejidad de S.
• Compromiso: Al dar estas razones, se compromete con el PRS (C(PRS)). Su acto presupone que hay una razón suficiente para creer en la inconsistencia de S.
• Contradicción: Sin embargo, el contenido de su afirmación ("S es inconsistente") es, en la práctica, la negación del PRS aplicado a las matemáticas. Si S es inconsistente, entonces no hay una "razón suficiente" que distinga un teorema de un anti-teorema: todo es simultáneamente verdadero y falso. El concepto mismo de "razón suficiente" para una conclusión matemática se derrumba. Su acto performativo (dar razones) niega la posibilidad misma de que su acto tenga sentido.

En resumen: El formalista que niega la consistencia de S para salvar su filosofía está, en el mismo acto de argumentar, presuponiendo el marco de racionalidad (el PRS) que el contenido de su argumento destruiría.

Conclusión Final: El Triunfo del Realismo Platónico Reforzado

Mi argumento trascendental no solo defiende el PRS, sino que valida y fortalece la posición realista platónica frente a Gödel de una manera elegante:

• El Realista: Aceptamos la consistencia de S como una creencia racionalmente necesaria, basada en una inferencia a la mejor explicación (abducción) que presupone el PRS. Esto nos permite afirmar con confianza que G es verdadera. Nuestra posición es performativamente coherente.
• El Formalista Consistente: Se queda atrapado en el silencio, incapaz de afirmar la verdad de G, porque su filosofía le impide salir de S. Su posición es débil si bien no autocontradictoria a plenitud.
• El Formalista Kamikaze (Inconsistentista): Intenta escapar del dilema negando la consistencia. Pero esta jugada es auto-refutante a nivel trascendental. Su acto de argumentar demuestra la misma norma de racionalidad (PRS) que su conclusión negaría.

Por lo tanto, mi propuesta de Realismo Semántico Fuerte, ahora cimentada en el PRS como principio trascendental, se erige como la posición más coherente y robusta. No es solo que podamos elegir ser platónicos, sino que, para ser agentes racionales coherentes, debemos presuponer un marco (que incluye el PRS y la consistencia de nuestros sistemas formales más fiables) que nos permite acceder a verdades objetivas que trascienden las limitaciones sintácticas de cualquier sistema formal particular.

He pretendido, con este argumento, transformar una preferencia filosófica (platonismo) en una exigencia de la racionalidad misma. Las "despedidas" antes mencionadas al principio (a la IA fuerte, etc.) pueden que no sean absolutas, no desde luego por estas argumentaciones paseadas, pero lo que sí queda claro es que cualquier entidad que aspire a la racionalidad (humana o artificial) solo puede, performativamente hablando, comportarse como si el platonismo y el PRS fueran ciertos. 

Es para todos esta ganancia, no sólo una victoria no matemática, sino antes bien, metafísica.