El gran Leibniz atribuía una cualidad mística a la raíz cuadrada de -1, viéndola como la manifestación del espíritu divino y llamándola este anfibio entre ser y no ser. Fue Gauss quien le dio existencia objetiva acabando así con siglos de especulación sobre la naturaleza exacta de los números complejos. Aún más inquietante y más digno del epíteto de Leibniz de espíritu divino es el omega descubierto por Chaitin.
Lean para comprobarlo a Paul Davies en La mente de Dios, pág. 122:
Una aplicación divertida de la teoría de información algorítmica concierne a un número no computable, llamado omega, que Chaitin define como la probabilidad de que un programa de ordenador se detenga, si su entrada consiste sencillamente en una cadena aleatoria de ceros y unos. La probabilidad de algo es un número entre 0 y 1: el valor 0 corresponde a algo imposible y el 1 a algo inevitable. Claro está que omega será próximo a 1, ya que la mayoría de las entradas aleatorias le parecerán basura al ordenador, y se detendrá rápidamente, mostrando un mensaje de error. Sin embargo, puede demostrarse que omega es algorítmicamente incompresible, y su expansión decimal o binara es completamente aleatoria tras los primeros pocos dígitos. Así pues, los n primeros dígitos en la expresión binaria de omega contienen la respuesta al problema de n qué programas de n dígitos se detendrán y cuáles correrán para siempre.
Charles Bennett ha señalado que muchos de los problemas abiertos de más enjundia en la matemática, tales como el último teorema de Fermat, admiten formulación como problemas de parada, porque conjeturan que algo no existe (en ese caso un conjunto de números que satisfagan el teorema de Fermat). La computadora tiene simplemente que buscar un contraejemplo. Si lo encuentra, se detendrá: si no lo encuentra, seguirá funcionando para siempre. Más aún, la mayor parte de los problemas más interesantes podrían codificarse en programas de unos miles de dígitos de longitud. De manera que el conocimiento de los primeros miles de dígitos de omega ¡nos daría acceso a la solución de todos los problemas matemáticos pendientes de ese tipo, así como a la de otros de complejidad similar que pudieran formularse en el futuro! Engloba una inmensa cantidad de sapiencia en un espacio reducidísimo, escribe Bennett, en tanto en cuanto sus primeros pocos millares de dígitos, que se pueden escribir en un pequeño trozo de papel, contienen la respuesta a más cuestiones matemáticas de las que pudieran formularse en el universo entero.
Por desgracia, al ser no computable, el número omega jamás será revelado por métodos constructivos, por mucho que lo intentemos. Así pues, carentes de revelación mística, nunca nos será dado conocerlo. E incluso si nos fuera dado omega por revelación divina, no lo reconoceríamos como tal porque, al ser aleatorio, no nos parecería especial en ningún sentido. Sería tan sólo una maraña de dígitos sin esquema alguno. Váyase usted a saber si no estará escrito un fragmento significativo de omega en algún libro de texto en alguna parte.
La sabiduría contenida en omega es real, pero oculta para siempre para nosotros por las restricciones de la lógica y las paradojas de la autorreferencia. Omega el No Cognoscible es quizá la contrapartida moderna de los números mágicos de los antiguos griegos. Bennett es decididamente poético acerca de su significado místico:
Lean para comprobarlo a Paul Davies en La mente de Dios, pág. 122:
Una aplicación divertida de la teoría de información algorítmica concierne a un número no computable, llamado omega, que Chaitin define como la probabilidad de que un programa de ordenador se detenga, si su entrada consiste sencillamente en una cadena aleatoria de ceros y unos. La probabilidad de algo es un número entre 0 y 1: el valor 0 corresponde a algo imposible y el 1 a algo inevitable. Claro está que omega será próximo a 1, ya que la mayoría de las entradas aleatorias le parecerán basura al ordenador, y se detendrá rápidamente, mostrando un mensaje de error. Sin embargo, puede demostrarse que omega es algorítmicamente incompresible, y su expansión decimal o binara es completamente aleatoria tras los primeros pocos dígitos. Así pues, los n primeros dígitos en la expresión binaria de omega contienen la respuesta al problema de n qué programas de n dígitos se detendrán y cuáles correrán para siempre.
Charles Bennett ha señalado que muchos de los problemas abiertos de más enjundia en la matemática, tales como el último teorema de Fermat, admiten formulación como problemas de parada, porque conjeturan que algo no existe (en ese caso un conjunto de números que satisfagan el teorema de Fermat). La computadora tiene simplemente que buscar un contraejemplo. Si lo encuentra, se detendrá: si no lo encuentra, seguirá funcionando para siempre. Más aún, la mayor parte de los problemas más interesantes podrían codificarse en programas de unos miles de dígitos de longitud. De manera que el conocimiento de los primeros miles de dígitos de omega ¡nos daría acceso a la solución de todos los problemas matemáticos pendientes de ese tipo, así como a la de otros de complejidad similar que pudieran formularse en el futuro! Engloba una inmensa cantidad de sapiencia en un espacio reducidísimo, escribe Bennett, en tanto en cuanto sus primeros pocos millares de dígitos, que se pueden escribir en un pequeño trozo de papel, contienen la respuesta a más cuestiones matemáticas de las que pudieran formularse en el universo entero.
Por desgracia, al ser no computable, el número omega jamás será revelado por métodos constructivos, por mucho que lo intentemos. Así pues, carentes de revelación mística, nunca nos será dado conocerlo. E incluso si nos fuera dado omega por revelación divina, no lo reconoceríamos como tal porque, al ser aleatorio, no nos parecería especial en ningún sentido. Sería tan sólo una maraña de dígitos sin esquema alguno. Váyase usted a saber si no estará escrito un fragmento significativo de omega en algún libro de texto en alguna parte.
La sabiduría contenida en omega es real, pero oculta para siempre para nosotros por las restricciones de la lógica y las paradojas de la autorreferencia. Omega el No Cognoscible es quizá la contrapartida moderna de los números mágicos de los antiguos griegos. Bennett es decididamente poético acerca de su significado místico:
A través de la historia, filósofos y místicos han buscado una clave compacta de la sabiduría universal, un fragmento finito de texto que, una vez conocido y comprendido, proporcionara la respuesta a todas las preguntas. La Biblia, el Corán, los libros místicos secretos de Hermes Trismegistus y la Cábala medieval de los judíos han sido contemplados bajo esa perspectiva..
Las fuentes de sabiduría universal están protegidas del uso casual por ser difíciles de hallar, difíciles de entender, una vez halladas, y su uso peligroso, tendiendo a contestar más preguntas, y más profundas, de las que el usuario deseara formular. Al igual que Dios, el esotérico libro es simple y a la vez indescriptible, omnisciente, y transforma a todos cuantos lo conocen… Omega es, en muchos aspectos, un número cabalístico. Por la razón humana se puede conocer su existencia, mas no conocerlo. Para conocerlo en detalle, uno tendría que aceptar su secuencia no computable de dígitos como artículo de fe, igual que las palabras de un texto sagrado
1 comentario:
Fantaseando un poco podríamos imaginar que una civilización extraterrestre estuviera buscando otra vida en el espacio pero convencidos de que sólo podrían ser inteligentes, al punto de crear una civilización como la suya, aquellos seres que fueran capaces de crear patrones matemáticos no computables, tal vez, digo se dedicasen a mandar señales cuya codificación fuera idéntica a la de Omega.
Para nosotros sería ruido, puro azar.
En consecuencia, nos quedaríamos sin comunicarnos con ellos a razón de sus prejuicios matemáticos sobre lo que es inteligencia.
XDDD
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