Ninguna descripción suma: A propósito de...A propósito de las reglas y del lenguaje privado, de Saul Kripke

 

§ 1

Acabo de leer Wittgenstein: a propósito de las reglas y del lenguaje privado, de Saul Kripke, y quisiera retomar desde varios ángulos el argumento que allí reconstruye. Kripke parte de la formulación que Wittgenstein ofrece, con admirable tersura, en el §201 de las Investigaciones filosóficas, y la desarrolla mediante su célebre ejemplo de la adición y la «cuadición». Precisamente por su economía, sin embargo, el argumento puede resultar demasiado abstracto si se comienza por él: corre el riesgo de parecer una paradoja lógica más, un primo sofisticado de aquellas de Zenón que tantas veces se despachan como fruslerías sin concederles siquiera el honor de la controversia. Con los argumentos filosóficos —y quizá singularmente con los de la tradición analítica— sucede algo parecido a lo que ocurre cuando los estrategas militares calculan la altura óptima de explosión de una bomba atómica para maximizar su radio de destrucción: a veces la detonación se produce tan alto que apenas roza el suelo; otras, tan bajo que todo el argumento se consume en el caso particular. Aquí quisiera empezar deliberadamente por abajo: hacer estallar el argumento contra el terreno de ejemplos concretos para ver cuánto suelo toca y de qué manera lo toca. Después iremos ganando altura. (Quien ya conozca el argumento encontrará su formulación canónica en §16; quien no, puede seguir sin problema: los ejemplos bastan hasta entonces, y §16 no añade premisas nuevas, solo la versión técnica de lo que ya habrá visto en el suelo.). Solo entonces podremos preguntarnos si Kripke ha logrado elevarlo hasta su forma más abstracta y pervasiva o si, por pasarse de frenada, lo ha dejado convertido en humo.

§ 2

He visto un video en el que un árbitro lanza el balón contra el césped para comprobar si rebota, gesto reglamentario con el que se evalúa si el partido puede celebrarse. El procedimiento tiene sentido en casos de lluvia excesiva. En el video, sin embargo, el agua llega literalmente hasta los tobillos del árbitro, y la aplicación de la regla se revela absurda: no se sigue la lógica en virtud de la cual fue establecida, a saber, determinar si el partido puede jugarse. Un jurista explica en Twitter que el Legislador exige del aplicador ese mismo gesto en todos los casos, aun cuando parezca carente de sentido, para no instaurar una excepcionalidad en la que la discrecionalidad del Aplicador de la Regla sobrepuje la lógica establecida por aquel. Pone otros ejemplos: el aduanero que obliga a un viajero a pasar de nuevo por el arco detector porque, mientras revisaban su maleta, ha quedado otra vez detrás; el policía que exige a un coche detenerse ante una señal de stop en una calle manifiestamente vacía. De aquí parece seguirse una primera conclusión: seguir la lógica de algo no coincide necesariamente con aplicar sus reglas. A veces, aplicar la regla consiste precisamente en repetir el gesto aun cuando la lógica que lo justificaba parezca exigir otra cosa.

Volveremos sobre este aplicador de reglas: su respuesta al campo anegado no es la única posible, y la otra también tiene defensores.

§ 3

Pero el Legislador no podría riel-dar la lógica que quiere instaurar de un modo que prescindiera de la aplicación de reglas, ahorrándose la mediación interpretativa de un juez humano. La única forma que tiene la lógica de poder seguirse es escalera-darse su prosecución a través de reglas que riel-dan al aplicador, como balizas que fijan cuándo se está dentro de la trayectoria y cuándo no. Dicho de otro modo: seguir una lógica exige aplicar reglas. Y sin embargo, siempre que se esté aplicando una regla cabe preguntar: ¿se sigue la lógica aquí también, cuando aplico la regla? Esta pregunta siempre tiene hueco, con independencia de su respuesta, y en ese hueco se instala la paradoja escéptica. ¿Por qué? Porque la regla sólo se define en tanto que su aplicación sirve para la definición de la lógica a seguir, no de la regla en sí; por eso no hay a dónde mirar para ver si la regla procede o no. Su pertinencia no deviene de una lógica previamente definida que la regla se limitara a expresar, pues esa lógica se determina mediante las propias reglas que la articulan. La pregunta nunca puede responderse que sí en virtud de la mera definición de la regla.

§ 4

Hasta aquí podría pensarse que la dificultad procede de las limitaciones del legislador humano. Imaginemos, entonces, a un Demiurgo omnipotente que quiere que, al arbitrio de nuestras decisiones, sigamos en buena ley la lógica que Él instauró. ¿Cómo podríamos saber, como árbitros, que seguimos encarrilados a ella, si no es mediante una aplicación recursiva de reglas en cada ocasión? Supongamos que el Demiurgo, deseoso de ayudarnos en el examen, nos enviara un qualia de gustirrinín cada vez que aplicáramos correctamente una regla. Aun dando por supuesta su infalibilidad, ¿cómo explicaría ese qualia que la aplicación de la regla significa aquí y ahora proseguir la lógica? Podría justificar nuestra confianza, pero no resolver la cuestión de su pertinencia. Porque lo que aquí está en juego no son criterios de justificación, sino de prosecución: el no cómo nos aseguramos de acertar, sino qué hace que aplicar una regla equivalga a seguir una lógica más allá del «siempre se hizo así». El Demiurgo puede pedirnos que apliquemos una regla; no puede pedirnos que sigamos una lógica sin darnos reglas que aplicar. Pero, una vez aplicada, siempre podremos preguntar: ¿aquí y ahora esta regla prosecuye la lógica?

§ 5

Una operación puede calcularse mediante procedimientos muy distintos, y el resultado correcto no basta para determinar cuál de ellos expresa la lógica que se pretendía seguir. Pero la dificultad no aparece solo al elegir entre procedimientos: también atraviesa cada uno de ellos. Entre dos operaciones pertinentes puede introducirse un gesto irrelevante —rascarse la nariz, soltar un balón— sin que el resultado se altere. ¿Cuenta ese gesto como parte de la práctica seguida o como una interrupción ajena a ella? La conducta observable admite ambas descripciones: podemos haber seguido una regla que excluía todo paso superfluo, o una regla más amplia que lo incluía sin penalización. La impertinencia de una regla no es, pues, un problema externo a la paradoja del seguimiento, sino una de sus formas internas: no solo cabe preguntar qué regla prosecuye una serie de aplicaciones, sino también qué acciones de esa serie cuentan como aplicaciones y cuáles como meros acompañamientos. El resultado no decide entre esas descripciones, y la regla no puede resolverlo apelando a una lógica que solo se determina mediante su propio despliegue. Así, la distinción entre proseguir una lógica y hacer el bobo entre regla y regla reproduce la misma pregunta normativa: qué hace que una conducta cuente como continuación de la práctica y no como otra práctica compatible con todo lo observado hasta entonces.

§ 6 

Esta dimensión queda en segundo plano en Kripke, que sitúa deliberadamente el problema a su máxima pero efectiva altura abstracta: toma las aplicaciones como unidades ya individuadas y pregunta qué hecho hace verdadero que expresen una regla determinada. No se pregunta, en cambio, qué cuenta como una aplicación dentro de la conducta que las produce. La distinción entre operaciones pertinentes y gestos impertinentes emplaza así la paradoja desde la correspondencia entre respuestas y funciones hasta la constitución misma del procedimiento, o seam antes de saber qué regla expresa una serie de aplicaciones, hay que determinar qué acciones de esa serie eran aplicaciones.

§ 7

A la manera de ejemplo, podría pensarse que los distintos algoritmos de multiplicación son solo caminos diversos hacia un mismo objeto, y que este —el producto— decide cuál de ellos prosecuye verdaderamente la lógica de la multiplicación. Pero  aquí aparece el problema de Benacerraf: el aplicador no puede apelar a un encuentro causal con el objeto matemático para que este certifique qué procedimiento lo alcanza. Piénsese: varios algoritmos pueden producir el mismo resultado mediante operaciones diferentes: la identidad del objeto no determina la identidad de la lógica procedimental. Tampoco basta con refugiarse en el significado, como si este contuviera de antemano todas sus aplicaciones correctas; al contrairo, cabe preguntar qué hecho constituye que por «multiplicación» signifiquemos esta operación y no otra compatible con nuestras prácticas anteriores. Ni el objeto ni el significado logran arbitrar la cuestión. Quedaría el programa formal, tal vez, la secuencia explícita de reglas como último garante de la lógica seguida. Pero tampoco allí desaparece el problema de las reglas que no vienen a cuento: ¿cómo saber que el programa contiene todas y solo las operaciones pertinentes? Los resultados de Chaitin sobre la elegancia de los programas —aquellos que, además de producir el resultado, no contienen ninguna instrucción superflua— muestran que la minimalidad no es certificable en general desde dentro de un sistema formal: más allá de cierto umbral de complejidad, ningún sistema puede probar que un programa dado carece de pasos sobrantes. Y eso afecta al formalismo precisamente en el papel que aquí se le asignaba: si el programa había de ser el árbitro independiente de la pertinencia —el lugar donde la lógica queda escrita sin resto—, entonces tenía que poder certificar su propia economía; si no puede, la pregunta por las reglas que no vienen a cuento reaparece dentro del programa, y el programa deja de ser el lugar donde el problema se resuelve para convertirse en otro lugar donde se reproduce. Así, ni el objeto, ni el significado, ni el programa parecen ofrecer un lugar independiente al que acudir para decidir si una aplicación prosecuye la lógica: ésta se define en su despliegue regulado, pero ese despliegue no puede validar su pertinencia apelando simplemente a la lógica que contribuye a definir.

§ 8

Kripke presentó esta paradoja como análoga a la de Hume, y sus eslóganes lo recogen: no condenamos ciertos actos porque sean inmorales, son inmorales porque los condenamos, análogamente —dirá que dice Wittgenstein— no aceptamos la ley de contradicción porque sea verdad necesaria, es verdad necesaria porque la aceptamos, vale decir, no decimos todos que 12 + 7 = 19 porque captemos el concepto de adición, sino que decimos que todos captamos el concepto porque todos decimos 12 + 7 = 19. La analogía humeana, sin embargo, describe la solución escéptica de Kripke y no la paradoja. Lo que Wittgenstein sostiene, en verdad, es que decimos todos que 12 + 7 = 19 porque en ello nos encontramos al seguir la lógica, de modo que, por el momento, la regla cumple nuestros criterios de prosecución. El argumento con el que Wittgenstein se analoga mejor es el de Kant y los cien táleros.

§ 9

Al cabo, el argumento de Wittgenstein puede reconstruirse como una aplicación del gesto de los táleros al realismo platónico del objeto y la designación verbal, vale decir, allí donde se supone que cada concepto riel-daría nuestra conducta en virtud de su realidad eidética. Del mismo modo que ningún predicado añadido al concepto puede poner cien táleros reales en mi bolsillo —la existencia no es un predicado real, sino un acto de posición—, ninguna descripción del acto de seguir una regla basta para uncirlo con su prosecución normativa: por rica que sea la descripción de la suma, ninguna descripción suma. El platonismo del significado, cuando pretende garantizar la aplicación apelando a la realidad del concepto, se convierte así en un argumento ontológico con ropaje semántico: supone que esa realidad es una nota capaz de rielar la conducta, cuando en verdad resulta inoperante, una rueda que gira sin mover nada (Investigaciones filosóficas, §271). No hace falta declarar falso ese platonismo; basta con mostrar que, en el papel de garante normativo, es superfluo. Benacerraf permite reconocer una dificultad consiliente: las múltiples reducciones conjuntistas de los números muestran que la estructura aritmética no selecciona por sí sola una denotación privilegiada. No es exactamente el §201 de las Investigaciones aplicado a la ontología matemática, pero reproduce una dificultad afín: la descripción no suministra por sí misma la instancia que pretendía fijar. Donde Kant disolvió la inferencia del concepto a la existencia, y Benacerraf la de la estructura a una denotación privilegiada, Wittgenstein disuelve la del contenido de la regla a su aplicación: no falta un hecho superlativo que justifique, sino que sobra un objeto eidético garante.

§ 10

La llamada paradoja del pavo es la del animal que, alimentado por el granjero día tras día, concluye que todas sus visitas tienen la misma finalidad, hasta que una de ellas termina convirtiéndolo en la cena de Navidad. El pavo no ha contado mal los casos anteriores; ha agrupado mal sus semejanzas. Su regla empleaba un hiperónimo, una categoría general bajo la cual caben otras más específicas —como «animal» respecto de «perro»—: «visitas del granjero». Pero la práctica exigía un hipónimo, una categoría más fina: «visitas del granjero para alimentarme». Todos los datos disponibles eran compatibles con ambas descripciones. Algo semejante ocurrió con el axioma de elección, principio según el cual, dada una colección de conjuntos no vacíos, es posible escoger un elemento de cada uno, incluso cuando son infinitos y no disponemos de un procedimiento común para efectuar todas esas elecciones. Operaciones de este tipo aparecían en razonamientos matemáticos sin que nadie las hubiera aislado todavía como un principio general. Zermelo las hizo visibles al formularlo explícitamente: descubrió, en ese sentido, una hipocognición operativa, es decir, algo que la práctica ya hacía sin poseer todavía un concepto explícito para decirlo. Al nombrarlo, zermeloó retrospectivamente los razonamientos de sus predecesores. De aquí se sigue una advertencia incómoda: afirmar que no estamos hipernomizando, que nuestra regla ya formula el hipónimo exacto bajo el cual deben subsumirse todos los casos, equivale a afirmar que nadie podrá zermeloearnos. Pero esa coincidencia entre la regla formulada y la granularidad exigida por la práctica no puede demostrarse apelando a los casos pasados, pues todos ellos son igualmente compatibles con descripciones más gruesas y más finas. La pretensión de haber alcanzado el hipónimo exacto no es, pues, una conclusión extraída de los datos, sino la clausura anticipada de futuras distinciones. El «no poder seguir la regla» admite así otra formulación: ¿estás seguro de que no van a zermeloear tus razonamientos, de que nadie vendrá después a mostrarte el axioma que ya seguías, la distinción que no supiste hacer o el monstruo que tu definición no alcanzó a excluir?

§11

Lakatos llevó esta apertura al corazón mismo de la demostración matemática. En Pruebas y refutaciones reconstruye, a vuela pluma, las peripecias de la fórmula de Euler, según la cual en un poliedro el número de vértices menos el de aristas más el de caras es igual a dos: en un cubo, 8−12+6=2 . La demostración parece clausurar la cuestión hasta que empiezan a aparecer monstruos: poliedros atravesados por túneles, sólidos unidos por un solo vértice, caras con agujeros, figuras que la definición parecía incluir y que la prueba no sabe muy bien qué hacer con ellas. Cada monstruo obliga a decidir si estamos ante una excepción, una refutación o un objeto que nunca debimos llamar poliedro. Así, las definiciones y las demostraciones se corrigen mutuamente: no se parte de un concepto perfectamente determinado para demostrar después sus propiedades, sino que el concepto se precisa mientras la demostración tropieza con sus propios límites. Zermelo hace visible una regla que la práctica ya seguía; Lakatos muestra que hacerla visible no la vuelve definitiva. Una vez des-hipocognizado un principio, podemos aceptarlo, negarlo o restringir su dominio, y cada decisión abre una bifurcación distinta de la práctica. Ninguna definición puede certificar de antemano que no será zermeloeda por un caso que obligue a hiponimizarla. Volvamos al árbitro de §2, porque allí ya estaba en miniatura lo que Lakatos describe a escala de la demostración. El jurista practica un monster-barring por vía autoritativa: el Legislador exige el gesto en todos los casos para que la discrecionalidad del aplicador no sustituya su lógica. Lakatos, en cambio, lee el campo anegado como un monstruo que fuerza una exception-barring o una incorporación de lema. La diferencia no es empírica —ambos ven el mismo campo—, sino sobre qué cuenta como seguir la regla cuando su letra y su lógica divergen. Eso es lo que ocurría con el balón: lanzarlo al césped puede ser necesario cuando la lluvia deja dudosa la jugabilidad del campo, pero no cuando estamos en medio del océano. Entonces basta con levantar la vista para satisfacer la finalidad de la prueba —determinar si puede jugarse— y decidir que no se juega, sin necesidad de ejecutar ese procedimiento adicional. El campo anegado es el monstruo que zermeloéa el protocolo arbitral: obliga a distinguir entre un campo cuya jugabilidad es dudosa y un campo manifiestamente inutilizable, distinción que la regla no formulaba porque sus aplicaciones anteriores todavía no la habían exigido.

§ 12

Con esto se ve que el escepticismo de la regla —expresión horrible, pero sigamos aquí a Kripke— no afecta solo al fundacionalismo verificacionista, sino también a la pretensión pragmatista de clausurar la cuestión apelando al éxito. Cuando Rorty recluta a Wittgenstein para el pragmatismo, la práctica parece ocupar el lugar antes reservado al objeto o al significado: una regla sería correcta en la medida en que funciona. Pero el éxito no llega etiquetado. Para reconocerlo hay que decidir qué acciones formaban parte de la práctica, qué resultado contaba como favorable y qué lógica se suponía proseguida; todas esas decisiones permanecen abiertas a revisión. El pragmatismo puede descartar un gesto por inútil, pero no convertir esa inutilidad en un criterio de cierre autosuficiente, porque la utilidad se determina dentro de una práctica cuya identidad también puede ser zermeloeda. Si ofrece criterios anticipables de éxito, esos criterios son falibles; si se limita a reconocer retrospectivamente como pragmático aquello que ha sobrevivido, no explica el éxito: lo bautiza. Así, el pragmatismo se arriesga a sustituir el platonismo del objeto por un platonismo retrospectivo del éxito. Su justificación se convierte entonces en un coitus interruptus: promete consumar la normatividad y, cuando llega el momento, anuncia que la investigación debe continuar indefinidamente. Puede responderse que esa interrupción no es un defecto, sino la renuncia a toda consumación fundacionalista. De acuerdo; pero entonces el pragmatismo no ha resuelto la paradoja del seguimiento, sino que ha descrito nuestra condición de vivir con ella.

§13

El llamado argumento de la succión financiera —o Dutch book— muestra que, si nuestros grados de creencia son incoherentes, podemos aceptar como razonables, una por una, una serie de apuestas cuya combinación nos hace perder necesariamente, ocurra lo que ocurra. No demuestra per se que nuestras creencias sean verdaderas, sino que cierta incoherencia nos expone a una pérdida segura. El pragmatismo, cuando se pone ontológico, invierte esa estructura: ya no pretende detectar una incoherencia antes del resultado, sino certificar retrospectivamente la racionalidad de una práctica por el hecho de que esta ha sobrevivido. Incurre así en un sesgo de supervivencia: tomamos las prácticas existentes como prueba de su adecuación y olvidamos tanto las que desaparecieron como las condiciones contingentes que permitieron su permanencia. Pero sobrevivir no equivale a haber seguido una lógica determinada, ni el éxito histórico nos dice qué reglas eran pertinentes ni cuándo habrían dejado de serlo. El pragmatismo no resuelve entonces la paradoja del seguimiento: sustituye la garantía del objeto por la garantía retrospectiva del resultado, sin explicar cómo individuar la práctica cuyo resultado habría de certificarla.

§14

Algo análogo ocurre con la teleosemántica, que pretende fijar el contenido de nuestras representaciones mediante la función para la que fueron seleccionadas: una representación significa aquello con lo que debe corresponderse para que el organismo cumpla la función que explica su éxito evolutivo. No se limita, por tanto, a decir que lo verdadero es lo que sobrevive; apela a una historia selectiva para decidir qué representación era la pertinente. Pero la adaptación solo exige estabilizaciones suficientemente fiables para contribuir a la supervivencia y la reproducción, no una descripción exhaustiva de lo real ni una granularidad semánticamente privilegiada. Una clasificación hiperónima puede bastar durante millones de años: distinguir comida de no comida, peligro de seguridad o campo jugable de campo anegado, sin explicitar todas las distinciones que casos futuros podrían exigir. Que estemos adaptados a lo real significa, como mínimo, que somos capaces de estabilizarlo a una resolución suficiente para seguir existiendo; no que poseamos el hipónimo exacto de cada práctica. Añadida una pizca de misterianismo kantiano —la admisión de que nuestra organización cognitiva limita aquello que podemos conocer—, la teleosemántica terminaría explicando no la solución de la paradoja, sino nuestra capacidad para seguir reglas eficazmente sin poseer una garantía de su prosecución definitiva. Nos enseñaría cómo la normatividad puede funcionar sin clausura semántica, no cómo clausurarla.

§ 15

La posibilidad de que una cognición sea localmente fiable y globalmente errónea tiene un antecedente notable en Charles Babbage (1791–1871), matemático y pionero de la computación. Sigo aquí la entrada «Babbage-Chambers paradox» de The Oxford Companion to Philosophy. En El noveno tratado de Bridgewater (1838), Babbage observó que su máquina calculadora podía producir los números naturales hasta 100000001  y continuar después, sin intervención alguna, con 100010002 , 100030003 , 100060004  y así sucesivamente durante cientos de términos, hasta que llegara el turno de una nueva ordenación. La máquina no fallaba: ejecutaba el ajuste que contenía desde el principio. Fallaba el observador que identificaba la regularidad aparente con la ley total del mecanismo. Babbage utilizó esta posibilidad para sostener que los milagros podían no ser interrupciones sobrenaturales del orden, sino consecuencias imprevistas de un programa originario, aunque la explicación resultó impopular. Como anticipación del problema de Goodman —el objeto «verdiazul» es verde hasta cierto momento y azul después— y de la paradoja del seguimiento de una regla, conserva toda su fuerza. Es tentador imaginar una filiación con Wittgenstein, aunque no conste que mencionara a Babbage; no hace falta, en cualquier caso, para reconocer la analogía. Ninguna cadena finita de observaciones u operaciones determina por sí sola la ley completa del proceso que las produce ni las aplicaciones que exigirá en el futuro. La regularidad de una cognición puede medir, precisamente, el tiempo que lleva sin encontrarse con el caso que la zermeloará.

§16

Partamos al fin, aunque sea con extrema brevedad, del núcleo del argumento que Kripke reconstruye en Wittgenstein on Rules and Private Language (1982). El escéptico nos confronta con una función rival de la adición, la cuadición, que coincide con la adición cuando ambos operandos son menores que 57 y produce 5 en cualquier otro caso. Suponiendo que nunca antes hubiéramos operado con números mayores, todo nuestro comportamiento anterior sería compatible con ambas funciones. ¿Qué hecho constituye, entonces, que por «+» quisiéramos decir adición y no cuadición? Y, aun pudiendo identificarlo, ¿cómo explicaría ese hecho que, para proseguir el mismo uso, debamos responder «125» y no «5»? Los hechos finitos de nuestra conducta pasada no deciden entre ambas hipótesis, y los demás candidatos examinados por Kripke —imágenes mentales, estados conscientes o disposiciones— tampoco consiguen explicar por sí solos la totalidad normativa de las aplicaciones futuras. La conclusión escéptica es fuerte: no existe el hecho buscado. Una solución recta intentaría mostrar que, pese a todo, sí existe; una solución escéptica acepta su ausencia y examina cómo puede continuar nuestra práctica sin ese fundamento. Según Kripke, Wittgenstein ofrece esta segunda respuesta: no sustituye los hechos semánticos por la verdad decidida comunitariamente, sino que pregunta en qué condiciones resulta legítimo atribuir significado a alguien y qué papel desempeña esa atribución en nuestra vida. La concordancia suficiente con las respuestas de los demás permite reconocernos como seguidores de una regla, corregir las desviaciones y sostener la práctica, pero no constituye un hecho que determine de antemano todas sus aplicaciones.

§17

La paradoja de Kripkenstein suele presentarse como un desafío radical al significado y al concepto mismo de seguir una regla. Sin embargo, al examinarla en un universo de juguete —un cuerpo algebraico finito y cerrado— se descubre hasta qué punto su escenificación depende de la asimetría entre lo finito y lo infinito. Tomemos la aritmética módulo 5: solo contiene los números 0,1,2,3,4 , y al llegar a cinco volvemos a cero, de modo que 4+3=2 . Hay únicamente veinticinco pares ordenados de operandos y, por tanto, veinticinco resultados que calcular. La cuadición prospera porque la aritmética natural ofrece siempre casos inexplorados en los que una función rival puede coincidir con todas nuestras aplicaciones anteriores y divergir después. Nuestra conducta es finita; el dominio de la función, ilimitado. En un cuerpo finito, en cambio, podemos ejecutar exhaustivamente todas las operaciones posibles: la totalidad de las aplicaciones efectivas coincide con la totalidad de las aplicaciones disponibles y ya no queda un caso futuro donde adición y cuadición puedan separarse extensionalmente. Alterar un resultado destruiría entonces la estructura algebraica que la regla debía preservar. Pero esto disuelve solo una capa de la paradoja. La tabla completa puede fijar la extensión de la función sin determinar todavía qué hace correctas sus entradas, qué distingue su ejecución de la reproducción accidental de una lista o qué lectura normativa debe hacerse de ella. Si ya sabemos que «+» designa la operación aditiva de ese cuerpo, la cuadición queda excluida; el escéptico pregunta precisamente qué constituye que ese sea el significado seguido. La finitización no revela, pues, que la paradoja sea una mera ilusión del infinito, sino que separa dos problemas que su presentación aritmética mantiene unidos: la subdeterminación extensional de una función por sus casos y la constitución normativa de su seguimiento. El drama de la cuadición necesita el infinito; la pregunta por la corrección de la regla sobrevive a su desaparición.

§18

El universo de juguete no falla por dentro, sino al con-jugarlo con el resto de nuestras prácticas. Mientras permanece aislado, su clausura está estipulada: veinticinco operaciones, veinticinco resultados y ninguna extensión pendiente. Pero, una vez insertado en nuestra actividad, la tabla puede emplearse como operación de un cuerpo, como código de sustitución, como registro de una partida o como parte de otro juego. Su exhaustividad local no decide qué práctica global estamos siguiendo con ella. Cabría así una cuadición de segundo orden: ya no cambiaría el resultado de unos operandos todavía no explorados, sino la función de la tabla completa en la siguiente jugada. Todos los usos anteriores podrían ser compatibles con «estamos calculando módulo 5» y con «estamos preparando la clave de otro juego». No hace falta un dominio infinito de números; basta con que la práctica permanezca abierta a otra con-jugación. Se produciría entonces algo así como un colapso cuántico inverso: al aislar el sistema, la función queda determinada; al conectarlo con su entorno de usos, lo que emerge no es una certidumbre, sino una nueva indeterminación. No mera incertidumbre acerca de una regla ya fijada, sino indeterminación sobre qué práctica constituye esa tabla exhaustiva. La clausura del universo de juguete era también una regla: decir «aquí no hay más casos» no basta si no queda determinado qué impide insertar ese dominio en otro. El escéptico no necesita descubrir un número nuevo; le basta con descubrir un uso nuevo de lo ya calculado. La finitización clausura la aritmética, pero no el juego de sus aplicaciones.

§19

El propio Kripke permite retirar la escalera de la finitud de los casos sin retirar con ella la paradoja:

Merece la pena señalar, empero, que aunque es útil, siguiendo al propio Wittgenstein, empezar la presentación del rompecabezas con la observación de que yo he pensado sólo en una cantidad finita de casos, parece que en principio puede darse un puntapié a esta escalera particular. Supóngase que yo hubiera pensado explícitamente en todos los casos de la tabla de adición. ¿Cómo puede ayudarme esto a responder a la pregunta por «68 + 57»? Bueno, si echo una mirada retrospectiva a mi propio historial mental, encuentro que me di a mí mismo indicaciones explícitas: «¡Si alguna vez se te pregunta por "68 + 57", replica "125"! » ¿No puede el escéptico decir que también estas indicaciones han de interpretarse de un modo no estándar? (Véase Observaciones sobre los fundamentos de la matemática, I, § 3; «Si lo sé de antemano, ¿de qué me sirve este conocimiento más tarde? Lo que quiero decir es: ¿cómo sé qué hacer con este conocimiento anterior cuando efectivamente se realiza el paso?»). Parecería que, si la finitud es relevante, incide más crucialmente en el hecho de que «las justificaciones deben tener un final en alguna parte» que en el hecho de que yo piense sólo en una cantidad finita de casos de la tabla de adición, aun cuando Wittgenstein haga hincapié en ambos hechos. Cualquiera de los dos puede usarse para desarrollar la paradoja escéptica; ambos son importantes.

La cita separa con precisión las dos finitudes. Aunque hubiéramos pensado exhaustivamente todos los casos y nos hubiéramos dado instrucciones explícitas para cada uno, todavía tendríamos que reconocer qué hacer con esas instrucciones cuando llegara el momento de aplicarlas. La tabla completa no ejecuta el paso de la indicación al acto. El escéptico ya no necesita un caso nuevo: puede reinterpretar la orden correspondiente a un caso expresamente previsto. La finitud no desaparece, pero cambia de lugar: deja de ser la finitud de los ejemplos considerados y se convierte en la finitud de las razones que podemos ofrecer para proseguir. Si las justificaciones terminan, cabe preguntar qué autoriza su último paso; si no terminan, nunca llegamos a actuar. El gozne último de la paradoja no es, por tanto, que nuestra experiencia sea finita frente a una tabla infinita, sino que ninguna tabla, instrucción o justificación ejecuta por sí misma su propia aplicación.

§ 20

Norman Malcolm recuerda que Wittgenstein consideró posible escribir una obra filosófica seria y buena compuesta enteramente por chistes. 

Un hombre camina por la playa, tropieza con una lámpara maravillosa y la frota. ¡Pum! Sale un genio enorme entre una nube de humo.

—¡Hola, mortal! —dice con voz atronadora—. Te concederé tres deseos, pero ten cuidado: pertenezco a la escuela ultraliteral. Cumplo exactamente lo que dices, no lo que piensas.

El hombre, emocionado, no presta demasiada atención a la advertencia.

—¡Perfecto! Para mi primer deseo… ¡quiero ser millonario!

El genio chasquea los dedos. Al instante, al hombre le crece el pelo blanco, le salen arrugas, se le dobla la espalda y un dolor de reuma le ataca las rodillas.

—¡¿Pero qué me has hecho?! ¡Tengo como ciento catorce años!

—Has vivido un millón de horas —responde el genio—. Eres millonario en tiempo. Siguiente deseo.

Temblando de viejo y de furia, el hombre decide ser extremadamente cuidadoso. Piensa durante cinco minutos y dice:

—Muy bien, maldito genio. Escucha: quiero que me devuelvas a mis veinticinco años y quiero tener tanto dinero físico en mis manos que ya no pueda levantar los brazos del peso.

¡Pum! Recupera su cuerpo joven. Siente un enorme alivio, hasta que descubre que no puede mover los brazos: dos bloques gigantescos de billetes prensados se han materializado alrededor de sus manos y los mantienen clavados al suelo.

—¡¿Y esto qué es?!

—Dinero físico —responde el genio—. Lo tienes en tus manos y pesa tanto que no puedes levantar los brazos. Has sido más preciso. Te queda un deseo.

Atrapado contra el suelo y aterrorizado de volver a abrir la boca, el hombre murmura:

—¿Sabes qué? Déjalo así. No quiero nada más.

El genio sonríe por última vez y chasquea los dedos.

¡Pum! Todo desaparece: los billetes, la playa, la lámpara, la Tierra y el aire. El hombre queda flotando en el vacío del espacio exterior, con el mismo cuerpo de veinticinco años que tenía un instante antes.

—Te he dejado exactamente como estabas —dice el genio mientras se desvanece—. Solo he retirado todo lo demás. No querías nada más.

La paradoja del seguimiento podría ilustrarse precisamente con el genio ultraliteral: pedimos «sumar» y no sabemos si la máquina proseguirá la suma; pedimos «fabricar clips» y tampoco sabemos si hará lo que teníamos en mente. El genio no incumple simplemente las órdenes: selecciona en cada ocasión una aplicación compatible con sus palabras y ajena a la práctica que el deseante daba por supuesta. Su supuesto literalismo es ya una interpretación, una cuadición con turbante. Pero el chiste no juega solo a favor del escéptico. El espectador reconoce inmediatamente que el genio hace el bobo, aunque ninguna de las órdenes contuviera una especificación total de lo que pretendía. Esa risa delata criterios compartidos de pertinencia: sabemos qué significaba «ser millonario» sin necesidad de incluir en la petición un tratado sobre unidades monetarias. Por rica que sea la descripción de la suma, ninguna descripción suma; por precisa que sea la definición del objetivo, ninguna definición ejecuta por sí sola la práctica encargada. Sin embargo, la ausencia de una descripción total no nos deja en la incomunicación radical: el genio resulta absurdo porque sabemos seguir la misma broma. La normatividad no reside en una literalidad que se aplique sola, pero tampoco desaparece cuando comprobamos que toda literalidad necesita una aplicación.

§ 21

En el fondo, el argumento de seguir la regla es la últimísima y más eficaz crítica a la methexis de Platón: la participación mediante la cual las cosas sensibles recibirían de las Ideas su identidad y su norma. La controversia suscitada por Kripkenstein —de McDowell, Baker y Hacker, que niegan que Wittgenstein necesitara una solución escéptica; a Wright, Boghossian, Blackburn o McGinn, cada uno empeñado en reconstruir o rechazar el hecho semántico a su manera— muestra que aquí no se disputa una rareza aritmética, sino el estatuto mismo de la racionalidad. En el Parménides, el propio Platón ya había exigido una explicación de cómo participan las cosas en las Formas; Aristóteles continuaría esa presión. Pero Wittgenstein no se limita a pedir que la participación sea explicada: anuncia que no puede ser operativa. Aunque existiera la Forma, todavía habría que pasar de su contenido a la aplicación, y cualquier vínculo propuesto sería algo que, a su vez, tendríamos que saber aplicar. La methexis no queda así sin explicación: queda sin funcionar. Si Wittgenstein tiene razón, no queda ninguna instancia capaz de clausurar la prosecución. No el pragmatismo, no la teleosemántica, no el comunitarismo, pues todos quieren proseguir un algo —regla, comunidad o la sonrisa del gato de Cheshire— que termina revelándose tan impalpable como los rayos de luna de la leyenda de Bécquer. Y si toda racionalidad depende de esa participación, su destrucción la fulmina por entero. No queda una razón modesta después de la razón platónica, porque cualquier sustituto hereda la misma imposibilidad de garantizar su propia continuación. La crítica parece total. 

Y, sin embargo, nuestra comunicación no parece un chiste...