Pastor y Sacerdote: Hacia una ontología del cálculo

 Resumen

El presente trabajo examina la transformación del estatuto epistémico de la matemática desde la Crítica de la razón pura de Kant hasta la crisis de fundamentos del siglo XX, empleando como dispositivo heurístico una fábula sobre el origen del cálculo. En dicha fábula, un Pastor —que exige poder garabatear (construir paso a paso) el número para considerarlo real— se enfrenta a un Sacerdote Olvidadizo, que se contenta con declarar su existencia por coherencia lógica. Esta distinción entre garabatear y declarar permite trazar una homología estructural entre la exigencia kantiana de construcción de conceptos en la intuición pura y la deriva de la matemática post-cantoriana.

Se argumenta que la matemática del siglo XIX y XX —con la aritmetización del continuo de Dedekind, la admisión del infinito actual de Cantor, la consagración del Axioma de Elección por Zermelo y el programa formalista de Hilbert— operó una progresiva desintuicionización del número, desplazando el modelo kantiano de los juicios sintéticos a priori en favor de una ontología de objetos cuya existencia se postula sin necesidad de construcción efectiva. Frente a esta confiscación del garabato, las corrientes predicativistas —y en particular la obra de Solomon Feferman— representan un núcleo residual de resistencia kantiana: la exigencia de que todo objeto matemático legítimo sea, en principio, garabateable.

El artículo no pretende zanjar la disputa entre constructivistas y realistas, sino mostrar que la matemática contemporánea se ha convertido en un campo de tensiones entre la potencia deductiva y la claridad constructiva. Se concluye que la matemática, lejos de ser el dominio incontrovertible que Kant tomó como modelo para humillar a la metafísica, ha visto aflorar en su propio seno perplejidades fundacionales de hondo calado filosófico. La frontera entre el conocimiento seguro y la especulación metafísica, que la Crítica trazó con tanto celo, se revela así más porosa de lo que el propio Kant pudo anticipar.

Palabras clave: Kant, estética trascendental, juicio sintético a priori, predicativismo, Solomon Feferman, Georg Cantor, David Hilbert, Axioma de Elección, fundamentos de la matemática.

§0. Preliminares heurísticos: Una fábula sobre el cálculo y la abstracción. 

Permítaseme referir una historia que, con independencia de su fidelidad arqueológica, posee una notable capacidad para iluminar el núcleo conceptual de la controversia que nos ocupará en las páginas siguientes. La recojo, con adaptaciones, de la exposición arqueológica que Mickaël Launay ofrece en La gran novela de las matemáticas:

Imaginemos una comunidad pastoral en la que, al aproximarse el verano, los rebaños parten hacia los pastizales del norte bajo la custodia de pastores que habrán de restituirlos íntegros a sus propietarios al término de la estación. En ausencia de un sistema de notación numérica, el procedimiento para verificar la identidad entre el rebaño de partida y el de retorno consistía en depositar en un recipiente una cantidad de fichas —los calculi o piedrecitas— que se correspondían una a una con cada animal. Al regreso, bastaba extraer una ficha por oveja para comprobar, mediante cotejo directo, que ninguna se había extraviado.

Este método, sin embargo, planteaba un conflicto de confianza bilateral. Los pastores temían que los propietarios añadiesen subrepticiamente fichas durante su ausencia. Los propietarios, por su parte, objetaban que el sellado del recipiente les impedía conocer la cantidad exacta de ovejas, información necesaria para sus transacciones. La solución consistió en trazar sobre la superficie de la bola de arcilla un signo que representase la cantidad de fichas contenidas en su interior. El signo permitía el conteo sin necesidad de romper el recipiente: había nacido el número como abstracción de cantidad.

No obstante, en un momento posterior del relato, alguien debió de advertir que, una vez dominado el sistema de signos, la inclusión efectiva de los calculi resultaba superflua. Bastaba con consignar el signo y prescindir del referente físico. A este acto de sustitución de lo tangible por lo abstracto podemos llamarlo, Escritura. Con él se consuma el tránsito desde una ontología de la presencia material hacia una ontología del significado. La piedra poseía la solidez de lo que puede tocarse, pero el signo, en cambio, era una entidad cuya verdad dependía de un consenso semiótico. Con el tiempo, la comunidad aceptó que el signo, siempre que la regla de correspondencia fuese exacta y el pacto inquebrantable, podía funcionar como un sustituto fiable de las piedras.

Ahora bien, todo incremento en la capacidad representacional conlleva un riesgo: el poder de sustituir lo concreto por un símbolo puede dejar de estar democráticamente distribuido y concentrarse en una figura de autoridad. Imaginemos una variante de esta sociedad en la que tal poder se consagra en el Sacerdote Olvidadizo, a quien compete la doble función de trazar y descifrar los signos. En un momento dado, este Sacerdote anuncia un hallazgo que estima definitivo: ha perfeccionado la Escritura de tal modo que las piedras resultan ya innecesarias, y en ese acto ha dado a luz una entidad nueva, el Número. Bajo su mirada, el rebaño deja de ser una colección de individuos singulares y se transfigura en un Conjunto y lo que debe consignarse ya no es la huella de un calculus particular, sino su esencia abstracta: el Cardinal.

Es aquí donde emerge la tensión que estructurará toda la fábula. Frente al Sacerdote se alza la figura del Pastor, cuyo conocimiento es de otro orden. El Pastor no opera con conjuntos, antes bien, conoce a cada oveja por su nombre y su singularidad irreductible. Su verdad es corpórea y está ligada a la memoria sensorial. Cuando el Sacerdote señala un signo y declara «doce» como la esencia numérica del rebaño, el Pastor no percibe una revelación, sino un enigma: ¿cómo puede confiarse en que esa marca mantenga una correspondencia fiable con lo real? El método anterior —un nombre, una piedra— permitía una verificación directa; el número «doce», en cambio, se presenta como algo inasible, carente de asidero para el recuento concreto.

El propio Sacerdote termina por percibir la fragilidad de su construcción. Atormentado por los fallos de su memoria y por la naturaleza escurridiza de su invento, busca un ancla que dote de estabilidad a su declaración. Acude al Pastor no desde la autoridad, sino desde la perplejidad: necesita convertir el enunciado «doce» en algo más que un convenio lingüístico efímero. Del diálogo entre ambos surge la clave resolutoria. El Pastor no refuta la abstracción sino que le otorga un criterio de realidad operativa al proponer una regla mental: «Imagina siempre que el signo II es un signo I». Es decir: trata el cardinal «doce» como si fuese, en esencia, una pluralidad de calculi individualmente considerados. La validez del número abstracto se rescata mediante su operatividad, cabe traducir, mediante la posibilidad de proyectarlo paso a paso en una secuencia de actos mentales que simulan la correspondencia biunívoca con las ovejas.

A esta conversión —la posibilidad de devolver la abstracción al dominio de lo operable mediante un procedimiento finito— la denominaremos Garabatear. Un concepto es garabateable si puede ser descompuesto en una secuencia de pasos discretos que un sujeto epistémico finito puede, en principio, ejecutar. Si un concepto admite este tratamiento, participa de un juego cuyas reglas lo anclan a lo real, mas si no lo admite, su verdad permanece en suspenso, como la regla de un juego que nadie sabe aún cómo jugar. La legitimidad de lo abstracto no reside, pues, en su mera declaración, sino en la posibilidad de su realización práctica, aunque esta sea, en último término, un acto de la imaginación disciplinada.

Podría pensarse que la fábula concluye con la reafirmación del poder de garabatear y, por tanto, con una victoria del sentido común. No fue así. El fantasma del Sacerdote Olvidadizo —la tentación de habitar un mundo de puras declaraciones sin anclaje en lo operable— no desapareció, sino que encontró refugio en el lugar más inesperado: el lenguaje de los números. La disputa entre lo que se puede garabatear y lo que solo se puede declarar resurgió, siglos después, en el ámbito más abstracto imaginable: las matemáticas del siglo XX. Allí, los bandos ya no se llamaban Pastores y Sacerdotes, pero la división era la misma. Por un lado, los predicativistas —matemáticos como L.E.J. Brouwer o Solomon Feferman— sostenían que un objeto matemático solo es real si cabe construirlo mediante un procedimiento finito. Su credo coincide con el del Pastor: «Si no lo puedo garabatear, no existe». En el extremo opuesto, los realistas o impredicativistas postulaban que el universo matemático es un paisaje objetivo cuya existencia es independiente de nuestra capacidad para recorrerlo. Si una ley lógica —por ejemplo, el principio de tercio excluso— garantiza que algo debe existir, entonces ese algo existe, aunque ningún sujeto finito pueda jamás exhibirlo. Su credo coincide con el del Sacerdote: «La lógica lo exige, luego es real».

Para ilustrar la naturaleza de esta grieta sin recurrir a tecnicismos, considérese el siguiente juego. Un jugador enuncia un número; otros dos jugadores deben enunciar, cada uno, un número mayor que el primero, y gana quien diga el número más bajo de los dos. En el dominio de los números naturales —1, 2, 3…— el juego es trivial: si el primer jugador dice «5», la jugada ganadora es «6». El juego es garabateable de principio a fin: hay un procedimiento que conduce a la solución. Pero si el juego se traslada al dominio de todos los números reales —el continuo que incluye a π, √2 y todas las expansiones decimales no periódicas—, la situación cambia. El Sacerdote despliega ahora su lógica: los dos jugadores eligen números mayores que el primero ym por el principio de tercio excluso, o bien el primero elige un número menor que el segundo, o bien el segundo elige uno menor que el primero, o bien ambos eligen el mismo (suceso de probabilidad nula). En cualquier caso, siempre habrá un ganador. El procedimiento de comparación está perfectamente definido y garantiza un resultado. Para el Sacerdote, esto es suficiente: el número ganador existe como resultado inevitable de un proceso relacional, aunque no pueda escribirse ni señalarse.

Para el Pastor predicativista, en cambio, este argumento es insuficiente. Su réplica podría formularse así: «No me interesa tu procedimiento de comparación. Lo que exijo es el número en concreto, el poder escribirlo, señalarlo, garabatearlo antes de que los jugadores realicen su elección. Si tu método se limita a garantizar que habrá un ganador sin indicar cuál es, no me has proporcionado nada. Me has ofrecido un ritual que simula una cuenta sin entregar la moneda».

La disputa queda en consecuencia formulada en su núcleo: para el Pastor, un número es aquello que puede ser nombrado mediante un procedimiento finito, en el otro lado de la disputa, para el Sacerdote, un número es aquello que no puede ser evitado por la necesidad lógica que lo impone. La pregunta que esta fábula deja planteada, y que servirá de hilo conductor para las páginas que siguen, es la siguiente: ¿qué es, en última instancia, un número? ¿Solo aquella cifra que podemos calcular, escribir y comparar con nuestras manos todavía manchadas de barro? ¿O también aquella sombra que la lógica pura nos obliga a aceptar, aun cuando permanezca para siempre fuera del alcance de nuestros procedimientos constructivos?

§1. Introducción: La intuición y su fantasma

La fábula que antecede no pretende, desde luego, erigirse en argumento probatorio, sino en un dispositivo heurístico cuya función consiste en volver visible una homología estructural: aquella que se da entre el dilema epistémico del Pastor frente a la bola sellada y la situación del filósofo trascendental frente a la matemática post-cantoriana. Lo que está en juego en ambos escenarios es la naturaleza del vínculo que une un símbolo —ya sea un garabato en arcilla o una fórmula conjuntista— con aquello que dicho símbolo pretende mentar, así como las condiciones bajo las cuales cabe atribuir a ese vínculo un valor de verdad o, cuando menos, de legitimidad operativa. La tesis que el presente trabajo se propone explorar, de manera no concluyente pero sí programática, puede formularse en los siguientes términos: la matemática del siglo XX, desde Dedekind y Cantor hasta el programa formalista de Hilbert, ha operado una progresiva des-intuicionización del número, desplazando el modelo kantiano del juicio sintético a priori —basado en la construcción sucesiva en la intuición pura del tiempo— en favor de una ontología de objetos cuya existencia se postula por coherencia lógica, sin que quepa exhibir para ellos un procedimiento de garabateo finito. Frente a esta deriva, las corrientes predicativistas —y en particular la obra de Solomon Feferman— representan el núcleo residual de una exigencia crítica de raigambre kantiana: la de que todo objeto matemático legítimo ha de ser, en principio, susceptible de una síntesis figurada, esto es, de una construcción paso a paso que lo ancle en las condiciones formales de la sensibilidad humana.

Para desplegar esta tesis, procederemos del siguiente modo. En la sección §2, reconstruiremos los elementos centrales de la estética trascendental kantiana en lo que atañe al concepto de número, prestando especial atención al célebre ejemplo de la suma 7+5=12 y al papel que en él desempeña la intuición pura del tiempo como condición de posibilidad de la síntesis sucesiva. Mostraremos que, para Kant, el número no es un concepto analítico que pueda extraerse del mero análisis de las unidades, sino un esquema que requiere ser construido en la imaginación productiva; en los términos de nuestra fábula, el número kantiano es, por esencia, garabateable. En la sección §3, examinaremos el momento histórico en que esta exigencia constructiva comienza a ser abandonada: la aritmetización del análisis con Dedekind, la introducción del infinito actual con Cantor y la subsiguiente consolidación de una matemática impredicativa que acepta definiciones circulares y pruebas de existencia no constructivas. Argumentaremos que este desplazamiento equivale a una confiscación sacerdotal del número, por cuanto la validez de los objetos matemáticos pasa a depender no de su exhibición efectiva, sino de su consistencia declarativa dentro de un sistema formal. La sección §4 estará dedicada al predicativismo como resistencia kantiana: analizaremos la obra de Feferman y sus predecesores (Poincaré, Weyl) a la luz del criterio de garabateabilidad, mostrando que su rechazo de las definiciones impredicativas responde a una exigencia análoga a la que el Pastor impone al Sacerdote en la fábula. Finalmente, en la sección §5, extraeremos algunas consecuencias filosóficas de este recorrido, sin pretender zanjar la cuestión, pero sí anotando que la matemática clásica, aun siendo instrumentalmente fecunda, ha dejado de ser el dominio privilegiado de los juicios sintéticos a priori tal como Kant los concibió, y que el predicativismo representa el último reducto —acaso quijotesco, pero filosóficamente honorable— de una concepción del número como acto antes que como objeto.

Antes de adentrarnos en la exégesis kantiana, conviene precisar el sentido en que emplearemos el término garabatear a lo largo de este trabajo. Por garabatear entenderemos, en sentido técnico, la operación cognitiva —o su correlato formal— consistente en descomponer un concepto abstracto en una secuencia finita de pasos discretos, cada uno de los cuales es intuitivamente accesible y puede ser ejecutado, al menos en principio, por un sujeto epistémico finito. Garabatear no es, pues, un mero cálculo algorítmico; es, más fundamentalmente, la condición de exhibibilidad de un objeto matemático en el teatro de la imaginación, el acto por el cual una mera declaración («existe un número tal que…») se traduce en un procedimiento que permite, paso a paso, señalar el objeto mentado. Como se advierte, esta noción guarda un parentesco estrecho con el concepto kantiano de construcción y con el concepto intuicionista de prueba, pero posee la ventaja heurística de permanecer lo suficientemente plástica como para tender un puente entre el lenguaje de la Crítica de la Razón Pura y el de la teoría de la demostración contemporánea.

Con estas precisiones terminológicas sobre la mesa, estamos en condiciones de regresar a Kant y de interrogar su doctrina del número con una pregunta que la fábula del Pastor ha dejado vibrando en el aire: ¿bajo qué condiciones un garabato deja de ser un rumor de la mente para convertirse en un acto de conocimiento?

§2. Gramática kantiana del Garabato

Si la fábula del Pastor y el Sacerdote ha de resultar algo más que un mero divertimento literario, es preciso mostrar ahora que la distinción que en ella se dibuja —entre garabatear un número y meramente declararlo— posee un correlato preciso en la arquitectura de la primera Crítica. Dicho de otro modo: la exigencia del Pastor, según la cual la legitimidad de un símbolo abstracto descansa en la posibilidad de descomponerlo en una secuencia de actos mentales que simulan la correspondencia uno-a-uno con las ovejas, no es sino una paráfrasis intuitiva de la doctrina kantiana del esquematismo y de la construcción de conceptos en la intuición pura. El propósito de la presente sección es, por tanto, doble: por un lado, exponer los elementos centrales de la teoría kantiana del número tal como aparecen en la Crítica de la Razón Pura, pero por otro, traducir esos elementos al vocabulario de nuestra fábula, mostrando que el acto de garabatear constituye, en el dominio matemático, la condición de posibilidad misma de los juicios sintéticos a priori.

2.1. El número como esquema de la cantidad

Conviene comenzar por una precisión terminológica que Kant mismo se encarga de subrayar en la Analítica de los Principios: el número no es un concepto empírico, abstraído de la experiencia de contar manzanas o monedas, sino un esquema trascendental de la cantidad. ¿Qué significa esto? Significa que el número no es una propiedad de los objetos, sino una regla de la imaginación productiva para generar una multiplicidad sucesiva en el tiempo. En palabras de Kant (A142/B182): 

«El esquema de la cantidad es el número, el cual es una representación que comprende la adición sucesiva de uno a uno (homogéneos). El número no es, pues, otra cosa que la unidad de la síntesis de lo múltiple de una intuición homogénea en general, porque yo produzco el tiempo mismo en la aprehensión de la intuición».

Obsérvese la cercanía de esta definición con la regla que el Pastor propone al Sacerdote en la fábula: «Imagina siempre que el garabato II es un garabato I». Lo que el Pastor exige no es otra cosa que la exhibición del esquema: el tránsito sucesivo de unidad en unidad, la producción del tiempo en el acto mismo de contar. Para Kant, en efecto, el concepto puro de cantidad (la categoría) permanece vacío si no se lo dota de un esquema que lo haga aplicable a los fenómenos, y por supuesto, ese esquema es, precisamente, la serie de los números naturales, entendida no como un conjunto ya dado, sino como la posibilidad de iterar indefinidamente la operación de añadir una unidad. En el lenguaje de nuestra parábola, el número kantiano es, por esencia, garabateable: su realidad no reside en una posición dentro de un orden abstracto preexistente, sino en el acto mismo de recorrerlo paso a paso.

2.2. Juicios sintéticos a priori: el caso de 7+5=12

La doctrina del esquematismo encuentra su aplicación más célebre en la teoría kantiana de los juicios matemáticos, y en particular en el ejemplo, tan traído y llevado, de la proposición aritmética 7+5=12. Kant sostiene, contra la tradición leibniziana, que este juicio no es analítico. Un juicio analítico es aquel cuyo predicado está ya contenido in nuce en el concepto del sujeto, de modo que su verdad puede establecerse por mero análisis conceptual sin necesidad de salir de él. Así, «todos los cuerpos son extensos» es analítico porque el concepto de «cuerpo» incluye ya, por definición, la extensión. Pero ¿ocurre lo mismo con 7+5=12? Kant responde negativamente. El concepto de «suma de 7 y 5» contiene, ciertamente, la idea de unión de dos números en uno solo, pero no contiene —no analíticamente— el número «12» resultante. Para obtener el predicado «12» es preciso salir del concepto y recurrir a la intuición pura: es necesario, por ejemplo, representarse los dedos de la mano o puntos sucesivos en el tiempo, y añadir a las siete unidades las cinco restantes una a una, hasta completar la serie.

El pasaje de la Crítica (B15-B16) merece ser citado in extenso, pues constituye el núcleo de cuanto aquí se argumenta:

«El concepto de doce no está pensado en modo alguno por el mero hecho de que yo piense aquella unión de siete y cinco; y por mucho que analice mi concepto de una tal suma posible, no encontraré en él el doce. Hay que salir de esos conceptos recurriendo a la intuición correspondiente a uno de los dos, por ejemplo los cinco dedos de la mano, o bien […] cinco puntos, y así sucesivamente añadir las unidades del cinco dado en la intuición al concepto del siete. Así, pues, amplío realmente mi concepto en el juicio 7+5=12 y añado al primer concepto uno nuevo que no estaba pensado en él; esto es, el juicio aritmético es siempre sintético.»

La operación descrita por Kant es, en su estructura más íntima, un acto de garabatear. El sujeto que suma 7 y 5 no realiza una deducción lógica a partir de definiciones, más bien, ejecuta una síntesis figurada en el medio homogéneo del tiempo. Va trazando, una tras otra, las unidades que componen el resultado, como quien traza un garabato sobre la arcilla húmeda para representar las ovejas que han de regresar. Y nótese un detalle crucial: Kant no exige que la intuición sea empírica, vale decir, no se requieren ovejas reales ni piedras físicas. Basta con la intuición pura del tiempo, esa forma a priori de la sensibilidad que hace posible toda experiencia de sucesión. El Pastor de nuestra fábula, cuando propone «Imagina siempre que el garabato II es un garabato I», está apelando exactamente a esa misma capacidad: la de simular, en el teatro de la cognición, una correspondencia biunívoca sin necesidad de manipular objetos tangibles.

2.3. Construcción de conceptos y garabateabilidad

La consecuencia que Kant extrae de este análisis es de una importancia capital para la filosofía de las matemáticas: las proposiciones matemáticas son sintéticas a priori, y son posibles precisamente porque la matemática construye sus conceptos en la intuición pura. «Construir un concepto —escribe Kant— significa exhibir a priori la intuición que le corresponde» (A713/B741). En el caso de la aritmética, esa construcción consiste en la producción sucesiva de unidades en el tiempo; en el caso de la geometría, en la construcción de figuras en el espacio puro. En ambos dominios, el conocimiento matemático no procede por análisis de conceptos dados, sino por síntesis de nuevas representaciones conforme a reglas.

Traduzcamos esta doctrina al vocabulario de nuestra fábula. Decir que un número es garabateable equivale a decir que puede ser construido en el sentido kantiano: que existe un procedimiento finito y claro para exhibir su esquema en la intuición pura del tiempo. Un número garabateable es aquel cuya realidad no se limita a una declaración existencial («existe un número tal que…»), sino que se ofrece como objeto de una posible experiencia matemática, esto es, como término de una serie que un sujeto finito puede, en principio, recorrer paso a paso. La exigencia del Pastor no es, pues, un capricho de rústico, por así decirlo, es la formulación primitiva del criterio trascendental que, según Kant, distingue a la matemática de la mera especulación metafísica.

2.4. El límite de la garabateabilidad: infinito potencial e infinito actual

Ahora bien, si el número kantiano es esencialmente garabateable, entonces su dominio se circunscribe necesariamente a lo que la tradición posterior denominará infinito potencial. En efecto, la síntesis sucesiva de unidades en el tiempo puede iterarse indefinidamente —siempre cabe añadir una unidad más—, pero no puede completarse jamás. El tiempo, como forma del sentido interno, es la condición de posibilidad de toda serie, pero es también, por ello mismo, el límite infranqueable de toda totalización. Un «infinito actual», entendido como una colección completa y acabada de infinitos elementos, no puede ser nunca construido en la intuición pura, a lo sumo, puede ser pensado como idea de la razón, pero no exhibido como objeto de conocimiento.

Kant es perfectamente consciente de esta restricción, y la formula con claridad en la Dialéctica Trascendental al tratar las antinomias cosmológicas. El concepto de un mundo infinito en el espacio o en el tiempo, o el de una serie infinita ya recorrida, conduce a contradicciones inevitables cuando se lo toma por un objeto dado a la intuición. La razón puede pensar el infinito, pero el entendimiento solo puede conocer aquello que puede ser construido en las formas de la sensibilidad. Dicho en los términos de nuestra parábola: el Sacerdote puede declarar la existencia de un conjunto infinito actual; puede incluso definir procedimientos relacionales que presupongan su completitud. Pero el Pastor, fiel al criterio de garabateabilidad, se verá obligado a preguntar: «¿Puedo recorrerlo? ¿Puedo, paso a paso, ir señalando cada uno de sus elementos?». Y si la respuesta es negativa, entonces —para el Pastor— aquello no es un número, sino un rumor de la mente, una sombra que la lógica proyecta sobre la pared de la caverna sin que haya mano alguna que pueda asirla.

Hemos llegado así al umbral de la gran transformación que ocupará la sección siguiente. La matemática del siglo XIX, armada con nuevas herramientas lógicas y una confianza renovada en el poder de la definición abstracta, franqueará ese umbral sin miramientos. Lo que para Kant era un límite trascendental infranqueable se convertirá, para Dedekind, Cantor y Hilbert, en un nuevo territorio que explorar. El Sacerdote Olvidadizo, lejos de desaparecer, se transfigurará en el matemático moderno, y su declaración —«La lógica lo exige, luego es real»— resonará en los pasillos de Gotinga con la misma solemnidad con que antaño resonaba en los pastizales de la arcilla. Pero antes de asistir a esa confiscación, conviene detenerse un instante en un episodio histórico que, aun siendo lateral a nuestra argumentación, arroja una luz particularmente reveladora sobre la conciencia que los propios matemáticos tuvieron de esta ruptura con el kantismo. Me refiero, naturalmente, al silencio de Gauss.

§3. La confiscación del Garabato: De Dedekind a Hilbert

3.1. Excursus: El grito de los beodos y el silencio de Gauss (una hipótesis sobre el temor al kantismo)

Existe una anécdota, transmitida por la tradición historiográfica con visos de leyenda, según la cual Carl Friedrich Gauss, habiendo descubierto en su juventud los rudimentos de una geometría no euclidiana, se habría abstenido de publicar sus hallazgos por temor al «griterío de los beodos» —esto es, al escándalo que una tal herejía geométrica provocaría entre los filósofos kantianos, para quienes la geometría euclidiana constituía el paradigma mismo de la ciencia sintética a priori, fundada en la intuición pura del espacio. La frase que se le atribuye, en carta a Bessel de 1829, es elocuente: «Temo el griterío de los beodos si alzara mi voz».

Conviene no tomar esta anécdota al pie de la letra sin las debidas cautelas historiográficas. Los motivos de Gauss para guardar silencio fueron, con toda probabilidad, múltiples y complejos: desde su proverbial perfeccionismo hasta la conciencia de que la comunidad matemática de su tiempo no estaba preparada para asimilar una geometría que prescindiera del postulado de las paralelas. Sin embargo, y aun concediendo que la hipótesis que aquí se aventura no puede ser validada de manera concluyente, resulta filosóficamente significativo leer ese silencio como un síntoma de la incomodidad que la nueva matemática empezaba a generar en relación con el marco trascendental kantiano.

En efecto, Kant había erigido la geometría euclidiana en el ejemplo insigne de una ciencia que progresa sobre juicios sintéticos a priori sin caer en los castillos de naipes de la metafísica dogmática. La certeza apodíctica de los teoremas geométricos se fundaba, según él, en la construcción de figuras en el espacio puro, forma a priori de la sensibilidad externa. Una geometría que negara el postulado de las paralelas y, con ello, la unicidad del espacio intuitivo, no solo refutaba a Euclides, antes bien, amenazaba con dinamitar los cimientos mismos de la estética trascendental. Si el espacio no era necesariamente euclidiano, entonces la intuición pura perdía su carácter de fundamento inconcuso, y con ella, la garantía de que las matemáticas constituyeran un dominio de conocimiento sintético a priori acerca del mundo fenoménico se desvanecía. Podían seguir siendo un juego formal consistente, cierto, pero dejaban de ser la ciencia de las condiciones de posibilidad de la experiencia.

¿Era Gauss consciente de esta implicación filosófica? No es descabellado suponerlo. Gauss conocía bien la filosofía de su tiempo, de hecho, su correspondencia revela un interés sostenido por cuestiones de fundamentos, y su célebre distinción entre la aritmética como reina de las matemáticas y la geometría como una ciencia empírica a posteriori (en su famosa carta a Olbers de 1817) sugiere que ya había roto, en privado, con el marco kantiano. Pero hacer pública esa ruptura habría supuesto enfrentarse no solo a los matemáticos conservadores, sino a toda la tradición filosófica que, desde Königsberg, había hecho de la geometría euclidiana el bastión inexpugnable del conocimiento a priori. El «griterío de los beodos» no sería, pues, el de unos cuantos filisteos ignorantes, muy posiblemente era el de los guardianes del templo kantiano, que hubieran visto en las geometrías no euclidianas una herejía contra la índole misma de la razón.

La ironía de la historia —y es esta ironía la que justifica el presente excursus— es que el propio Kant había utilizado las matemáticas como modelo de una ciencia que, a diferencia de la metafísica, era capaz de progresar mediante juicios sintéticos a priori sin extraviarse en disputas interminables. Las matemáticas eran, para él, la prueba viviente de que la razón pura podía conocer algo acerca del mundo sin recurrir a la experiencia, pero siempre que se atuviera a las condiciones formales de la sensibilidad. Y he aquí que, apenas unas décadas después de su muerte, las propias matemáticas comenzaban a descolgarse de ese marco, explorando territorios —geometrías no euclidianas, números transfinitos, definiciones impredicativas— que ya no podían ser alojados cómodamente en la estética trascendental. El silencio de Gauss, leído bajo esta luz, no sería sino el primer síntoma de un malestar que estallaría con toda su fuerza a finales del siglo XIX: la matemática, ese baluarte del kantismo, se estaba convirtiendo en su más formidable adversario.

No pretendo, insisto, probar esta hipótesis con el rigor que exigiría una investigación historiográfica. Me basta con insinuarla, dejarla flotar en el aire como una posibilidad interpretativa que arroja luz sobre el drama conceptual que nos ocupa. Porque lo cierto es que, con o sin el consentimiento explícito de Gauss, la confiscación del garabato estaba ya en marcha. Y sus artífices no serían ya geómetras silenciosos, sino algebristas y lógicos dispuestos a declarar, sin ambages, la independencia de la matemática respecto de la intuición.

3.2. Dedekind y la aritmetización del continuo

El primer gran acto de confiscación —o, si se prefiere un término menos cargado, de emancipación— tuvo lugar en el dominio del continuo. Hasta bien entrado el siglo XIX, la noción de número real arrastraba consigo una pesada herencia geométrica: un número real era, en el fondo, una magnitud, es decir: una proporción entre segmentos, algo que se mostraba en la intuición espacial mucho antes de poder ser definido en términos puramente aritméticos. Esta dependencia de la intuición geométrica resultaba, a los ojos de los matemáticos más rigurosos, una rémora insoportable. Si el análisis infinitesimal había de alcanzar la dignidad de una ciencia estrictamente deductiva, era preciso despojarlo de todo recurso a la evidencia sensible y reducirlo a un fundamento exclusivamente aritmético.

Richard Dedekind acometió esta tarea en su opúsculo de 1872, Continuidad y números irracionales, con una elegancia conceptual que no ha dejado desde entonces de suscitar admiración. Su idea rectora es tan simple como audaz: un número real no es una magnitud espacial, sino una cortadura en el conjunto de los números racionales. Más precisamente, una cortadura de Dedekind es una partición del conjunto Q (los números racionales) en dos subconjuntos no vacíos A y B tales que todo elemento de A es menor que todo elemento de B, y A no tiene máximo. Cada una de estas cortaduras define un número real. Los números racionales mismos quedan representados por aquellas cortaduras en las que B tiene un mínimo; los irracionales, por aquellas en las que B carece de él. El continuo, ese viejo fantasma de la intuición espacial, queda así reducido a un objeto puramente conjuntista: un conjunto de subconjuntos de números racionales.

¿Qué ha ocurrido aquí con el garabato? Sencillamente, ha sido declarado superfluo. En el esquema kantiano, el continuo espacial era una forma a priori de la sensibilidad, o sea, no podía ser deducido de conceptos, sino que debía ser exhibido en la intuición pura. Dedekind, por el contrario, define el continuo mediante una construcción lógica que no requiere, en ningún momento, salir del dominio de los conceptos y las relaciones formales. No necesita trazar una línea en la imaginación, toda vez que le basta con postular la existencia de ciertos subconjuntos de Q y con definir entre ellos las operaciones aritméticas usuales. El número raíz cuadrada de 2, que para un griego era la diagonal inconmensurable de un cuadrado y para un kantiano la construcción de una magnitud en la intuición espacial, se convierte ahora en la cortadura definida por el conjunto de todos los racionales cuyo cuadrado es menor que 2. No hay aquí síntesis figurada alguna, no hay sucesión de unidades en el tiempo, solo hay, únicamente, una declaración: «Existe un número real que corresponde a esta cortadura».

Nótese que el procedimiento de Dedekind es, en un sentido importante, impredicativo. La definición de una cortadura particular cuantifica sobre el conjunto total de los números racionales, pero la existencia misma de los números reales como objetos matemáticos presupone la totalidad de las cortaduras posibles, esto es, la totalidad del continuo que se pretendía definir. El Sacerdote, en este punto, no necesita ya de las piedrecitas ni de los garabatos, apenas se basta con la coherencia interna de su definición conjuntista. El Pastor, por su parte, podría preguntar: «¿Puedo garabatear esta cortadura? ¿Puedo recorrer, paso a paso, todos los racionales cuyo cuadrado es menor que 2?». La respuesta es, por supuesto, negativa: se trata de un conjunto infinito que ningún sujeto finito puede recorrer exhaustivamente. Pero para Dedekind —y para la tradición matemática que él inaugura— esa pregunta es irrelevante. Lo que importa no es la exhibición del número, sino su definición precisa dentro de un sistema formal.

3.3. Cantor y el infinito actual

Si Dedekind había confiscado el continuo, Georg Cantor confiscó el infinito mismo. Hasta entonces, la noción de infinito que prevalecía en la tradición filosófica —y muy señaladamente en Kant— era la del infinito potencial: una serie que puede prolongarse indefinidamente, pero que nunca está dada como un todo acabado. Para Kant, como vimos, la síntesis sucesiva de unidades en el tiempo es la condición de posibilidad del número, y esa síntesis no puede completarse jamás: el infinito actual es una idea de la razón, no un objeto de conocimiento. Cantor, con una audacia que a muchos de sus contemporáneos les pareció rayana en la locura, se propuso convertir el infinito actual en un objeto legítimo de la matemática.

El gesto fundacional de Cantor consiste en tratar los conjuntos infinitos como totalidades acabadas, susceptibles de ser comparadas en tamaño mediante la noción de cardinalidad. Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si entre ellos puede establecerse una correspondencia biunívoca. Esta definición, en apariencia inocua, conduce de inmediato a resultados contraintuitivos: el conjunto de los números naturales N y el de los números pares tienen la misma cardinalidad (son numerables), a pesar de que el segundo es un subconjunto propio del primero. Más aún: Cantor demuestra, mediante su célebre argumento diagonal, que el conjunto de los números reales R no es numerable, que su cardinalidad es estrictamente mayor que la de N. Existen, pues, diversos órdenes de infinito, una jerarquía transfinitita que se despliega en una sucesión de números cardinales: alef sub cero, alef sub uno, alef sub dos, y así sucesivamente.

Lo que aquí nos interesa no es la corrección técnica de estos resultados —que es, por lo demás, incuestionable dentro del marco de la teoría de conjuntos estándar—, sino su significado filosófico en relación con el criterio de garabateabilidad. El argumento diagonal de Cantor es, quizá, la expresión más pura del proceder del Sacerdote. En efecto, ¿qué demuestra exactamente Cantor? Demuestra que no puede existir una función biyectiva entre N y R. O, dicho en términos positivos: demuestra que el cardinal de R es no numerable. Pero esta demostración no exhibe ni un solo número real que no pueda ser alcanzado por una enumeración; se limita a probar que la hipótesis de que todos los números reales pueden ser enumerados conduce a una contradicción. El número que «falta» en la enumeración —el famoso número diagonal— no es construido en el sentido kantiano; es inferido por reductio ad absurdum. Sabemos que debe existir, porque el tercio excluso nos obliga a aceptar que, si no puede ser el caso que todos los reales sean numerables, entonces tiene que haber al menos un real no numerable. Pero no podemos señalarlo, no podemos escribirlo, no podemos —en suma— garabatearlo.

El Pastor predicativista, llegado a este punto, alzaría la voz con una objeción que ya hemos escuchado: «No me interesa tu reductio. Lo que yo exijo es el número en concreto. Si no puedes mostrármelo, si tu argumento se limita a garantizarme que habrá un ganador en el juego de Fulano y Mengano sin decirme cuál es, entonces no me has dado nada. Me has vendido un ritual lógico sin entregarme la moneda». Pero el Sacerdote cantoriano, impertérrito, replicaría: «El número existe porque la lógica lo exige. Su existencia no depende de nuestra capacidad para exhibirlo; depende únicamente de la consistencia del sistema en el que lo definimos. El reino de las verdades matemáticas no es un teatro para la imaginación humana; es un paisaje objetivo que exploramos con las herramientas de la razón».

Conviene subrayar que el propio Cantor era perfectamente consciente del carácter revolucionario de su empresa. En sus escritos filosóficos, defendió explícitamente la legitimidad del infinito actual frente a la tradición aristotélico-kantiana del infinito potencial, y llegó a invocar argumentos teológicos para justificar la existencia de una mens matematica divina en la que los conjuntos infinitos existen como totalidades acabadas. No es este el lugar para evaluar la solidez de tales argumentos: bástenos con constatar que, con Cantor, la matemática cruzó un Rubicón filosófico. A partir de él, la noción de existencia matemática se desligó progresivamente de la noción de construibilidad, y la lógica clásica —con su arsenal de pruebas no constructivas y su confianza en el tercio excluso— se erigió en el tribunal supremo de la legitimidad matemática.

Ahora bien, sería un error atribuir a Cantor en solitario la autoría de esta confiscación del infinito. Las investigaciones historiográficas recientes —y en particular el minucioso escrutinio de la correspondencia entre Cantor y Dedekind— han revelado que el argumento diagonal, esa joya de la corona del edificio cantoriano, fue en realidad el fruto de una intensa colaboración epistolar. Dedekind no solo animó a Cantor a publicar sus resultados sobre la no numerabilidad de los números reales, sino que contribuyó decisivamente a perfilar la estructura lógica del argumento. Hay quien ha llegado a hablar, quizá con excesiva mordacidad, de plagio, honrado esto, y más allá de la anécdota erudita, lo que este episodio revela es que la confiscación del garabato no fue el gesto aislado de un genio incomprendido, sino la obra concertada de una comunidad matemática que, paso a paso, iba desprendiéndose de las ataduras de la intuición. Dedekind y Cantor, el aritmetizador del continuo y el domador del infinito, eran en realidad cómplices en un mismo proyecto: el de emancipar a la matemática de la tiranía de lo construible.

Y, sin embargo, la inquietud que este proyecto suscitaba no era nueva. Mucho antes de que Cantor osara tratar el infinito como un número, Galileo Galilei, en sus Diálogos sobre dos nuevas ciencias (1638), había tropezado ya con la perplejidad que el infinito actual depara al sentido común. En la célebre paradoja que lleva su nombre, Galileo hace notar que el conjunto de los números naturales y el de sus cuadrados perfectos pueden ponerse en correspondencia biunívoca, a pesar de que los cuadrados son manifiestamente «menos numerosos» que los naturales. Salviati, el portavoz de Galileo, concluye que los atributos de «igual», «mayor» y «menor» no se aplican a las cantidades infinitas, sino solo a las finitas. La solución de Galileo fue, pues, la prudente: eludir el problema declarando que el infinito no es un dominio apto para la comparación cuantitativa. Durante más de dos siglos, esta fue la posición ortodoxa. Todavía para Gauss, en pleno siglo XIX, el infinito no era un número, sino una façon de parler, un límite al que la variable puede aproximarse indefinidamente pero que nunca alcanza. El infinito era, en suma, potencial: la posibilidad de proseguir sin término, no la actualidad de un conjunto dado.

Cantor, con la complicidad de Dedekind, quebró este consenso. Y al hacerlo, no solo introdujo un nuevo objeto matemático: introdujo una nueva manera de hablar sobre los objetos matemáticos, una manera en la que la existencia no necesita ser exhibida, sino que puede ser inferida por la mera coherencia de un discurso. El argumento diagonal es el paradigma de esta nueva manera: no muestra el número que falta, pero demuestra que tiene que faltar. Es una prueba que convence a la razón, pero que no entrega nada a la imaginación. El Sacerdote ha aprendido a hablar un lenguaje en el que la verdad no es un acto, sino una posición en un espacio lógico.

3.4. El Axioma de Elección: la herejía silenciosa

Si el argumento diagonal de Cantor fue el primer gran golpe asestado a la exigencia de garabateabilidad, el Axioma de Elección —formulado explícitamente por Ernst Zermelo en 1904— fue el golpe de gracia. Y lo fue, precisamente, porque explicitaba sin ambages aquello que en Dedekind y Cantor permanecía aún semioculto: la legitimidad de afirmar la existencia de un objeto matemático sin proporcionar el menor indicio de cómo construirlo.

El Axioma de Elección afirma, en su formulación más intuitiva, que dado un conjunto de conjuntos no vacíos, existe una función que elige un elemento de cada uno de ellos. Dicho de otro modo: si tenemos una colección de cajas, cada una de las cuales contiene al menos un objeto, podemos formar un nuevo conjunto tomando exactamente un objeto de cada caja. La afirmación parece, a primera vista, de una inocuidad casi tautológica. ¿Quién podría negar que, si cada caja tiene algo dentro, podemos elegir un algo de cada una? Pero, como bien sabía Zermelo, y como no tardaron en señalar sus críticos —encabezados por Émile Borel, Henri Lebesgue y, sobre todo, L.E.J. Brouwer—, esa aparente inocuidad esconde una presuposición de consecuencias devastadoras para el criterio de garabateabilidad.

En efecto, el Axioma de Elección no dice cómo elegir. No proporciona regla alguna, algoritmo alguno, procedimiento alguno para determinar, para cada caja, cuál de sus elementos ha de ser el elegido. Simplemente declara que tal elección es posible. Si las cajas son finitas, o si disponemos de un criterio explícito para seleccionar un elemento de cada una (por ejemplo, «el elemento más pequeño»), entonces el axioma es superfluo: la función de elección puede ser construida. Pero si las cajas son infinitas y carecemos de un criterio uniforme de selección, el axioma postula la existencia de una función que, en principio, ningún sujeto finito podría jamás especificar. Es, en estado puro, el gesto del Sacerdote: «La función existe porque yo lo digo, y su existencia está garantizada por la coherencia del sistema».

Las consecuencias de admitir este gesto fueron inmensas. Con el Axioma de Elección, Zermelo pudo demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado —esto es, que puede disponerse en una secuencia tal que todo subconjunto no vacío tenga un primer elemento—, un resultado que Cantor había conjeturado pero que no había podido probar. El teorema de Zermelo abría la puerta a la aritmética transfinita en toda su generalidad, ahora bien, lo hacía al precio de introducir objetos —los buenos órdenes de conjuntos como el de los números reales— de los que no podemos exhibir ni un solo ejemplo. Sabemos que existen, porque el axioma nos lo garantiza, pero no podemos mostrarlos. Son, como el número ganador del juego de Fulano y Mengano, sombras lógicas cuya realidad se agota en su declaración.

Desde la perspectiva kantiana que venimos rastreando, el Axioma de Elección representa la herejía definitiva. No solo porque postula existencias sin construcción, sino porque lo hace en un dominio —el de los conjuntos infinitos no estructurados— que carece por completo de correlato en la intuición pura. Kant había fundado la posibilidad de los juicios sintéticos a priori en la construcción de conceptos en las formas puras de la sensibilidad: el tiempo para la aritmética, el espacio para la geometría. Pero, ¿en qué forma pura de la sensibilidad puede construirse una función de elección sobre un conjunto no numerable de conjuntos no numerables? ¿Qué síntesis figurada puede exhibir, paso a paso, la selección de un elemento de cada uno de los subconjuntos no vacíos de los números reales? La respuesta es ninguna. El Axioma de Elección no es sintético a priori en el sentido kantiano; es, a lo sumo, un postulado de la razón pura que se otorga a sí misma el derecho de legislar sobre un dominio que trasciende toda experiencia posible, matemática o fenoménica.

No es de extrañar, por tanto, que el Axioma de Elección se convirtiera en el parteaguas de la crisis de fundamentos. Los matemáticos de inclinación constructivista —los Pastores modernos— lo rechazaron con vehemencia. Brouwer, el fundador del intuicionismo, lo consideraba una extrapolación ilegítima de la lógica finita al dominio infinito, una violación flagrante del principio de que la existencia matemática equivale a la posibilidad de construcción. Otros, como Hermann Weyl en su etapa predicativista, lo tacharon de circular y de presuponer justamente aquello que se pretendía demostrar. Pero la corriente principal de la matemática —los Sacerdotes— lo aceptó, primero con reticencia, luego con naturalidad, y finalmente como una herramienta indispensable para el desarrollo de la topología, el análisis funcional y el álgebra moderna. El Axioma de Elección se convirtió en el emblema de una matemática que había renunciado a la exigencia de garabatear y que se contentaba con la coherencia declarativa de sus postulados.

Así, cuando Hilbert emprendió su programa formalista, el terreno ya estaba abonado. Dedekind había aritmetizado el continuo; Cantor había domeñado el infinito; Zermelo, con el Axioma de Elección, había consagrado el derecho de la lógica a postular existencias sin construcción. Solo faltaba dar el último paso: declarar que la matemática entera no era sino un juego de símbolos, y que su legitimidad descansaba exclusivamente en la no contradicción de sus reglas. Ese paso lo dio Hilbert.

3.5. Hilbert y el programa formalista: las fichas sin rebaño

El tercer gran acto de confiscación —y, en cierto sentido, el más radical— lo protagonizó David Hilbert con su programa formalista. Si Dedekind había aritmetizado el continuo, Cantor había domeñado el infinito y Zermelo había consagrado el derecho a postular existencias sin construcción, Hilbert se propuso nada menos que mecanizar la prueba misma y, de paso, purgar a la matemática de todo residuo intuitivo. Su objetivo era doble: por un lado, proporcionar una fundamentación sólida e incontrovertible para la matemática clásica, incluyendo sus partes más controvertidas (como la teoría de conjuntos cantoriana y el uso del tercio excluso sobre dominios infinitos), pero por otro, hacerlo de un modo que no requiriera apelar a intuición alguna, ni siquiera a la intuición aritmética más elemental.

Conviene detenerse un momento en la crítica hilbertiana a los Elementos de Euclides, porque en ella se cifra, con una claridad meridiana, el núcleo filosófico de esta confiscación. Como recoge Ian Stewart en Mentes maravillosas: los matemáticos que cambiaron el mundo, a Hilbert no le satisfacía la lista de axiomas de Euclides, pues el recurso a los dibujos había llevado al geómetra griego a adoptar postulados que no enunciaba de manera explícita. Stewart ofrece un ejemplo sencillo pero revelador: «una línea recta que pasa por un punto del interior de un círculo debe encontrarse con la circunferencia». En un dibujo, esto resulta evidente; pero no es una consecuencia lógica de los axiomas de Euclides. Hilbert se percató de que los axiomas euclidianos eran incompletos, y se dispuso a remediar esa deficiencia. Mas su crítica iba mucho más allá de una mera cuestión de completitud deductiva. Lo que Hilbert ponía en cuestión era la legitimidad misma de la intuición como fundamento de la prueba matemática. Las definiciones euclidianas —un punto como «aquello que no tiene partes», una línea recta como «aquella línea que yace por igual respecto de los puntos que están en ella»— le parecían carentes de sentido. Lo que importa, argumentaba Hilbert, es cómo se comportan estos conceptos dentro de un sistema de relaciones formales, no una imagen mental de cómo son. Y entonces pronunció la frase que Stewart recoge y que merece ser citada por su potencia corrosiva: «Uno debería poder decir en todo momento, en lugar de puntos, líneas rectas y planos, mesas, sillas y jarras de cerveza». En particular —y he aquí la sentencia que nos ocupa—, sobraban las imágenes.

«Sobraban las imágenes». No es posible expresar con mayor concisión el adiós definitivo a la estética trascendental kantiana. Para Kant, la matemática era precisamente la ciencia de la construcción de conceptos en la intuición pura y, por lo tanto, las imágenes —los esquemas figurados en la imaginación productiva— no solo no sobraban, sino que constituían de hecho la condición de posibilidad misma de los juicios sintéticos a priori. Para Hilbert, en cambio, las imágenes son un estorbo, una rémora que la matemática rigurosa debe extirpar si aspira a la certeza apodíctica. La geometría no ha de fundarse en la contemplación de figuras trazadas en el espacio puro, sino en un sistema de axiomas cuyos términos primitivos («punto», «recta», «plano») pueden ser interpretados de cualquier modo —incluso como mesas, sillas y jarras de cerveza— siempre que satisfagan las relaciones estipuladas. La verdad geométrica no reside en la correspondencia con una intuición espacial, sino en la coherencia lógica del sistema axiomático.

Este proyecto de depuración axiomática estaba, por supuesto, íntimamente relacionado con la cuestión, para entonces bien comprendida, de las geometrías no euclidianas y el axioma de las paralelas. Hilbert intentaba establecer los principios básicos de los tratamientos axiomáticos, y entre esos principios figuraban la coherencia (que los axiomas no conduzcan a una contradicción lógica) y la independencia (que ningún axioma sea consecuencia de los demás). Otras cualidades deseables eran la completitud y la simplicidad. La geometría euclidiana era el caso que servía de prueba. La coherencia era fácil de establecer: se puede «modelar» la geometría de Euclides con el álgebra, aplicada a las coordenadas (x, y) del plano. Es decir, se puede partir de números normales para construir un sistema matemático que obedezca todos los axiomas de Euclides. Por consiguiente, los axiomas no pueden ser contradictorios entre sí, porque una prueba por contradicción demostraría entonces que el modelo construido «no existe».

Pero Hilbert se dio cuenta enseguida de un defecto potencial en este argumento, un defecto que, como acertadamente apunta Stewart, volvería a perseguirlo: el argumento supone que el sistema estándar de números es en sí mismo no contradictorio, o sea, que la aritmética es coherente, que es lo que para los matemáticos significa que «existe». Por evidente que pareciera, nadie lo había demostrado. He aquí, pues, la tarea que Hilbert se impuso: demostrar la consistencia de la aritmética, y por extensión de la matemática clásica en su conjunto, mediante medios finitistas e incontrovertibles.

La estrategia de Hilbert para acometer esta tarea es célebre. Las teorías matemáticas debían ser formalizadas como sistemas de símbolos carentes de significado intrínseco. Un teorema no sería ya una verdad acerca de objetos abstractos (números, conjuntos, funciones), sino una mera secuencia de trazos —fichas en un tablero— que puede ser derivada de los axiomas mediante reglas de inferencia puramente sintácticas. La tarea del matemático se asemejaría así a la del jugador de ajedrez: no necesita saber qué «representan» las piezas: solo necesita conocer las reglas que gobiernan sus movimientos legítimos. Para garantizar que este juego simbólico no condujera a contradicciones, Hilbert se propuso desarrollar una metamatemática finitista que demostrara, por medios combinatorios elementales y no controvertidos, la consistencia de los sistemas formales.

¿Dónde queda, en este esquema, el garabato? A primera vista, el programa de Hilbert parece una vindicación del Pastor. En efecto, Hilbert exige que las pruebas sean secuencias finitas de símbolos, susceptibles de ser inspeccionadas paso a paso, consecuentemente, exige que la metamatemática se limite a razonamientos combinatorios que cualquier sujeto finito puede verificar, vale decir, exige, en suma, que el juego se juegue con fichas tangibles y reglas explícitas. El propio Hilbert declaró en su célebre conferencia de 1925: «El infinito no se encuentra en ninguna parte de la realidad; no existe en la naturaleza ni es admisible como fundamento de nuestro pensamiento racional». Hasta aquí, el Pastor podría asentir satisfecho.

Pero hay una trampa, y es una trampa de consecuencias decisivas. Hilbert no pretende eliminar el infinito de la matemática: pretende domesticarlo mediante una distinción entre el infinito ideal y el infinito real. Los enunciados que involucran cuantificaciones sobre dominios infinitos —como el tercio excluso aplicado a todos los números reales— son tratados como elementos ideales, al modo en que en álgebra se introducen los números imaginarios para simplificar los cálculos, aun sabiendo que no corresponden a magnitud real alguna. Estos elementos ideales son legítimos siempre que el sistema formal que los alberga sea consistente, esto es, siempre que no permita derivar una contradicción como «0=1». La garantía de consistencia, a su vez, debe ser proporcionada por la metamatemática finitista, que opera exclusivamente con objetos finitos y concretos.

El problema, como es bien sabido, es que los teoremas de incompletitud de Gödel (1931) demostraron que una tal garantía finitista de consistencia para sistemas suficientemente ricos (como la aritmética de Peano) no puede obtenerse dentro del propio sistema. Más fundamentalmente, para nuestros propósitos, el programa hilbertiano consuma la separación definitiva entre la matemática y la intuición kantiana. Para Hilbert, los símbolos matemáticos no significan nada, apenas son meras fichas que manipulamos conforme a reglas. El Pastor kantiano exigía que el garabato representara algo —el rebaño, la serie de unidades en el tiempo— y que esa representación pudiera ser garabateada paso a paso. Para Hilbert, en cambio, las fichas no representan nada: son el rebaño. O, mejor dicho: la cuestión de si las fichas representan o no un rebaño es una cuestión metafísica que el matemático, en cuanto matemático, no necesita plantearse. Le basta con saber que el juego es consistente. «Sobraban las imágenes», en efecto; y con ellas, sobraba también la exigencia kantiana de construir los conceptos en la intuición pura.

Así, el formalismo hilbertiano lleva a su culminación la confiscación iniciada por Dedekind y Cantor y consagrada por el Axioma de Elección. La matemática deja de ser la ciencia de la construcción de conceptos en la intuición pura para convertirse en la ciencia de la manipulación de símbolos conforme a reglas. El juicio sintético a priori kantiano, que requería la síntesis figurada de unidades en el tiempo, es sustituido por el juicio analítico a posteriori de la metamatemática: «Esta secuencia de símbolos es derivable de estos axiomas mediante estas reglas». La verdad matemática ya no es correspondencia con una intuición pura, sino coherencia sintáctica dentro de un sistema formal. El Sacerdote Olvidadizo ha triunfado: el garabato ya no necesita ser garabateado, solo basta con que esté bien formado. Y el Pastor, arrinconado en los márgenes de la matemática oficial, solo puede musitar su vieja letanía: «¿Pero podemos jugar?».

3.6. Balance provisional: ¿Adónde fue a parar la intuición?

Llegados a este punto, conviene hacer un balance provisional que ordene los hitos de la confiscación del garabato kantiano. No se trata ya de un único gesto de emancipación, sino de una secuencia de operaciones conceptuales que, escalonadamente, fueron despojando a la matemática de su anclaje en la intuición pura y desplazando el criterio de legitimidad desde la construcción hacia la declaración.

El primer hito lo marcó Dedekind al aritmetizar el continuo. Con su noción de cortadura, el número real dejó de ser una magnitud espacial —algo que se mostraba en la intuición geométrica— para convertirse en un objeto conjuntista definido por comprensión sobre la totalidad de los números racionales. La raíz cuadrada de dos ya no era la diagonal inconmensurable de un cuadrado, sino el conjunto de todos los racionales cuyo cuadrado es menor que dos. El continuo, forma a priori de la sensibilidad externa para Kant, quedaba reducido a una construcción lógica que ningún sujeto finito puede recorrer exhaustivamente. El garabato, aquí, era declarado superfluo: bastaba con la definición precisa dentro de un sistema formal.

El segundo hito lo protagonizó Cantor, con la complicidad epistolar de Dedekind, al admitir el infinito actual como objeto legítimo de la matemática. Frente a la tradición aristotélico-kantiana del infinito potencial —la serie que puede prolongarse indefinidamente pero nunca está dada como un todo acabado—, Cantor postuló la existencia de totalidades infinitas completas, susceptibles de ser comparadas en tamaño mediante la noción de cardinalidad. Su argumento diagonal no exhibía el número real que faltaba en una enumeración; demostraba, por reductio ad absurdum, que tenía que faltar. La existencia matemática se desligaba así de la construibilidad: un objeto podía ser declarado existente por la mera coherencia lógica del discurso, sin que cupiera señalarlo, escribirlo o, en nuestros términos, garabatearlo.

El tercer hito, acaso el más explícitamente herético desde la perspectiva kantiana, fue la formulación por parte de Zermelo del Axioma de Elección. Este axioma afirma, en esencia, que dada una colección de conjuntos no vacíos, existe una función que elige un elemento de cada uno de ellos, pero sin proporcionar regla alguna, algoritmo alguno, procedimiento alguno para determinar cómo se efectúa tal elección. Si los conjuntos son infinitos y carecemos de un criterio uniforme de selección, el axioma postula la existencia de una función que ningún sujeto finito podría jamás especificar. Es, en estado puro, el gesto del Sacerdote: «La función existe porque yo lo digo, y su existencia está garantizada por la coherencia del sistema». Con el Axioma de Elección, la matemática se otorgaba a sí misma el derecho de legislar sobre un dominio que trasciende toda experiencia matemática posible, renunciando explícitamente a la exigencia de construcción que había caracterizado al paradigma kantiano.

El cuarto y último hito lo consumó Hilbert con su programa formalista. Hilbert no solo aceptó los objetos creados por Dedekind, Cantor y Zermelo, sino que dio un paso más: declaró que la matemática entera no era sino un juego de símbolos carentes de significado intrínseco. «Uno debería poder decir en todo momento, en lugar de puntos, líneas rectas y planos, mesas, sillas y jarras de cerveza». Y sobre todo, sobraban las imágenes. La verdad matemática ya no consistía en la correspondencia con una intuición pura, sino en la coherencia sintáctica de un sistema formal. El juicio sintético a priori kantiano, que requería la síntesis figurada de unidades en el tiempo, era sustituido por el juicio analítico a posteriori de la metamatemática: «Esta secuencia de símbolos es derivable de estos axiomas mediante estas reglas». El Sacerdote Olvidadizo había triunfado: el garabato ya no necesitaba ser garabateado; bastaba con que estuviera bien formado.

En cada uno de estos cuatro pasos, la matemática se alejó progresivamente del modelo kantiano de los juicios sintéticos a priori. Para Kant, la proposición 7+5=12 era sintética porque requería una construcción en la intuición pura del tiempo; para el matemático post-hilbertiano, esa misma proposición es un teorema de la aritmética de Peano, demostrable por inducción a partir de axiomas que no necesitan ser interpretados en intuición alguna. La matemática ha dejado de ser, en este sentido, el paradigma de una ciencia que progresa mediante la construcción de conceptos en las formas puras de la sensibilidad; se ha convertido, más bien, en el paradigma de una ciencia que progresa mediante la postulación de sistemas formales y la exploración de sus consecuencias deductivas.

Ahora bien, ¿significa esto que la exigencia del Pastor ha sido definitivamente derrotada? ¿Debemos aceptar, con el Sacerdote moderno, que la legitimidad de un objeto matemático se reduce a su consistencia declarativa, sin necesidad de garabato alguno? No tan rápido. Porque, como anunciamos en la fábula, el fantasma del Sacerdote Olvidadizo encontró refugio en el lugar más inesperado, pero también encontró resistencia. Una resistencia que, fiel al espíritu del Pastor, no se contentó con declaraciones de existencia, sino que exigió, una y otra vez, la posibilidad de garabatear. Esa resistencia tiene un nombre: predicativismo. Y su figura más eminente en la segunda mitad del siglo XX fue Solomon Feferman. A ella dedicaremos la siguiente sección.

§4. Feferman y los predicativistas: Los últimos pastores del kantismo

4.1. El predicativismo como resistencia

Si la historia de la matemática del siglo XIX y principios del XX fue, como hemos argumentado, la historia de una progresiva confiscación del garabato, no lo fue sin resistencia. Frente al avance arrollador de la matemática conjuntista, con su aceptación del infinito actual, sus definiciones impredicativas y su confianza en el tercio excluso sobre dominios infinitos, se alzaron voces que, con mayor o menor radicalidad, reivindicaron la exigencia del Pastor: la de que un objeto matemático solo es legítimo si puede ser construido, exhibido, recorrido paso a paso. Estas voces configuran una corriente de pensamiento que, bajo el rótulo genérico de predicativismo, representa el núcleo residual de la exigencia crítica de raigambre kantiana en el seno de la matemática contemporánea.

Conviene precisar, ante todo, el sentido técnico del término «predicativismo». Una definición se dice impredicativa cuando el objeto definido cuantifica sobre una totalidad a la que él mismo pertenece. El ejemplo clásico es la definición del mínimo de un conjunto de números reales: «el menor elemento del conjunto». Esta definición cuantifica sobre todos los elementos del conjunto, pero el mínimo mismo es uno de esos elementos, o sea, su definición presupone, pues, la totalidad de la que forma parte. El predicativismo, en su formulación más estricta, rechaza este tipo de definiciones por considerarlas circulares o, cuando menos, por presuponer una totalidad acabada que no ha sido previamente construida. Para un predicativista, un objeto matemático debe ser definible sin hacer referencia a una colección que lo contenga, esto es, debe poder ser construido «desde abajo», paso a paso, a partir de objetos previamente dados.

En los términos de nuestra fábula, el predicativista es aquel que, como el Pastor, exige que el número «doce» pueda ser descompuesto en una secuencia de calculi individuales, y que esa descomposición sea efectivamente realizable, al menos en principio. No le basta con que el Sacerdote declare «existe un número con tal propiedad», antes bien, exige que se le muestre el procedimiento para obtenerlo. El predicativismo es, pues, la traducción matemática de la exigencia de garabateabilidad.

4.2. Raíces históricas: Poincaré, Russell y Weyl

Aunque el término «predicativismo» no se acuñaría hasta más tarde, la sensibilidad predicativista tiene profundas raíces en la crisis de fundamentos de finales del siglo XIX y principios del XX. Tres figuras destacan como precursoras inmediatas de la posición que Feferman sistematizaría décadas después.

La primera es Henri Poincaré. En una serie de artículos publicados entre 1905 y 1906, Poincaré arremetió contra las definiciones impredicativas, a las que consideraba la fuente última de las paradojas lógicas que por entonces amenazaban la consistencia de la teoría de conjuntos. Para Poincaré, una definición que involucra una cuantificación sobre un conjunto del que el objeto definido forma parte es viciosamente circular. Su crítica se dirigía, en particular, contra el uso del Axioma de Elección y contra las definiciones conjuntistas de los números reales. Poincaré defendía que la matemática debía limitarse a objetos que pudieran ser definidos por inducción, esto es, construidos paso a paso a partir de una base finita. En sus propias palabras: «No hay infinito actual. Los cantorianos lo han olvidado y han caído en la contradicción». El eco del Pastor resuena aquí con claridad: no se puede declarar la existencia de una totalidad infinita acabada, dirá, solo se puede garantizar la posibilidad de proseguir indefinidamente una construcción.

La segunda figura es Bertrand Russell, cuya paradoja —el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos— puso de manifiesto los peligros de las definiciones impredicativas. Russell propuso, como remedio, su célebre teoría de los tipos, que estratifica el universo matemático en niveles jerárquicos de modo que un conjunto de un nivel dado solo puede contener elementos de niveles inferiores. Con ello, Russell prohibía explícitamente las definiciones que cuantifican sobre totalidades a las que el objeto definido pertenece. Aunque el sistema de los Principia Mathematica resultó ser, a la postre, excesivamente restrictivo para el desarrollo de la matemática clásica, su espíritu predicativista —la exigencia de construir los objetos matemáticos por niveles, sin presuponer totalidades no construidas— dejó una huella indeleble en la filosofía de las matemáticas.

La tercera figura, acaso la más próxima al espíritu de nuestra fábula, es Hermann Weyl. En su monografía de 1918, El continuo, Weyl desarrolló un programa predicativista para la fundamentación del análisis matemático. Weyl aceptaba la aritmética de los números naturales como dada, pero se negaba a tratar el continuo de los números reales como una totalidad acabada. En su lugar, proponía construir los números reales como secuencias infinitas de números racionales, pero solo en la medida en que tales secuencias pudieran ser definidas mediante propiedades aritméticas que no cuantificaran sobre la totalidad de los números reales. El resultado era un análisis matemático considerablemente más débil que el clásico —muchos teoremas estándar no podían demostrarse—, pero Weyl estaba dispuesto a pagar ese precio con tal de preservar la claridad conceptual y evitar lo que él llamaba «el círculo vicioso de la impredicatividad». Weyl, como el Pastor, prefería un rebaño más pequeño pero efectivamente contable a una declaración de infinitud sin posibilidad de garabato.

4.3. Solomon Feferman: la sistematización del predicativismo

El predicativismo de Poincaré, Russell y Weyl era, en buena medida, una reacción de rechazo frente a los excesos percibidos de la matemática conjuntista. Pero carecía de una caracterización precisa de sus propios límites: ¿hasta dónde puede llegar la matemática si nos atenemos estrictamente a definiciones predicativas? ¿Qué teoremas se pierden y cuáles se conservan? ¿Es posible reconstruir una parte sustancial de la matemática clásica sobre bases predicativistas? Estas preguntas, que los precursores apenas pudieron esbozar, encontraron una respuesta sistemática en la obra de Solomon Feferman.

Feferman (1928-2016) fue un lógico y filósofo de la matemática que dedicó gran parte de su carrera a explorar los límites y las posibilidades del predicativismo. Su contribución más célebre a este respecto es el artículo de 1964 «Systems of Predicative Analysis», donde caracteriza con precisión el alcance de la matemática predicativa y demuestra que una porción sorprendentemente amplia del análisis clásico puede ser recuperada dentro de un marco predicativista. Lejos de limitarse a una actitud meramente negativa o restrictiva, Feferman se propuso mostrar que el predicativismo no es un callejón sin salida, sino un territorio matemático fértil y coherente.

La caracterización fefermaniana del predicativismo parte de una idea intuitiva: un objeto matemático es predicativo si puede ser definido sin hacer referencia a una totalidad que lo presuponga. Para precisar esta idea, Feferman recurre a la noción de definibilidad por inducción transfinita a lo largo de ciertos ordinales bien construidos. En esencia, su propuesta consiste en aceptar como legítimas aquellas definiciones que pueden obtenerse iterando una operación de formación de conjuntos un número finito o transfinito de veces, pero solo a lo largo de ordinales que a su vez han sido definidos de manera predicativa. El resultado es un universo matemático estratificado en niveles, cada uno de los cuales se construye a partir de los anteriores sin presuponer la totalidad del universo.

¿Qué porción de la matemática clásica sobrevive a esta depuración predicativista? La respuesta de Feferman es matizada. Por un lado, la aritmética de los números naturales y una buena parte del análisis elemental —incluyendo la teoría de funciones continuas y la integral de Riemann— son plenamente predicativas. Por otro lado, ciertos teoremas centrales del análisis clásico, como el teorema de Bolzano-Weierstrass (que afirma que todo conjunto infinito y acotado de números reales tiene un punto de acumulación) o el teorema de Heine-Borel (que caracteriza la compacidad de los intervalos cerrados), resultan ser impredicativos en su formulación estándar. Sin embargo, Feferman mostró que estos teoremas pueden ser recuperados si se debilita ligeramente la exigencia predicativista, admitiendo ciertas formas de definición impredicativa que, a su juicio, no incurren en el círculo vicioso denunciado por Poincaré. El predicativismo fefermaniano no es, pues, un fundamentalismo intransigente; es, más bien, una actitud crítica que examina caso por caso la legitimidad constructiva de los objetos matemáticos.

4.4. El predicativismo como kantismo residual

Llegados a este punto, estamos en condiciones de precisar el sentido en que el predicativismo —y en particular la obra de Feferman— puede ser considerado como una forma de kantismo residual en la matemática contemporánea. La conexión no es meramente histórica ni anecdótica; descansa en una homología estructural entre la exigencia kantiana de construcción de conceptos en la intuición pura y la exigencia predicativista de definición sin circularidad.

Recordemos el análisis kantiano de la proposición 7+5=12. Para Kant, este juicio es sintético a priori porque requiere una construcción en la intuición pura del tiempo: la adición sucesiva de unidades, una tras otra, hasta completar la serie. El concepto de «suma de 7 y 5» no contiene analíticamente el número 12; es preciso salir del concepto y recurrir a la intuición para construir el resultado. Esta construcción es, por esencia, un proceso finito y paso a paso. El sujeto kantiano no puede limitarse a declarar «12» como el resultado de la operación; tiene que garabatearlo.

Pues bien, ¿qué exige el predicativista cuando rechaza una definición impredicativa? Exige exactamente lo mismo: que el objeto definido no se presuponga a sí mismo a través de una cuantificación sobre una totalidad que aún no ha sido construida. Exige que el objeto pueda ser obtenido mediante un proceso de construcción que no incurra en circularidad. Exige, en suma, que el objeto sea garabateable en el sentido que hemos venido precisando a lo largo de este trabajo: que pueda ser descompuesto en una secuencia finita de pasos discretos, cada uno de los cuales es intuitivamente accesible y puede ser ejecutado, al menos en principio, por un sujeto epistémico finito.

La diferencia, naturalmente, reside en el medio en el que se despliega la construcción. Para Kant, ese medio era la intuición pura del tiempo, forma a priori de la sensibilidad. Para el predicativista contemporáneo, el medio es un sistema formal con reglas explícitas de formación y derivación. Pero la exigencia subyacente es la misma: la legitimidad de un objeto matemático no puede descansar en una mera declaración de existencia por coherencia lógica, antes bien, debe descansar en la posibilidad de su construcción efectiva. El predicativista, como el Pastor de nuestra fábula, no se contenta con que el Sacerdote le anuncie que «tiene que haber» un ganador en el juego de Fulano y Mengano: exige que se le muestre cuál es, o al menos el procedimiento para ostentarlo.

Feferman mismo era plenamente consciente de esta filiación kantiana. En varios de sus escritos filosóficos, reconoció explícitamente la deuda del predicativismo con la tradición constructivista que arranca de Kant y pasa por el intuicionismo de Brouwer. Aunque Feferman no era un intuicionista en sentido estricto —aceptaba, por ejemplo, ciertas formas de razonamiento clásico que Brouwer habría rechazado—, compartía con el intuicionismo la convicción de que la matemática no es la exploración de un reino platónico de objetos eternos, sino una actividad humana regida por normas de construcción y evidencia. En este sentido, el predicativismo fefermaniano representa una vía media entre el formalismo hilbertiano —que renuncia a todo significado intuitivo— y el intuicionismo brouweriano —que restringe drásticamente la lógica admisible—. Es, si se quiere, un kantismo moderado, que reconoce los límites de la construcción pero no renuncia a recuperar, en la medida de lo posible, el legado de la matemática clásica.

4.5. Límites y legado del predicativismo

No sería honesto concluir esta sección sin señalar los límites del predicativismo como programa fundacional. A pesar de los notables éxitos de Feferman y sus continuadores en la reconstrucción predicativa del análisis, lo cierto es que una parte sustancial de la matemática moderna —incluyendo la teoría de conjuntos estándar, la topología conjuntista y buena parte del análisis funcional— permanece fuera del alcance predicativista. Teoremas como el lema de Zorn (equivalente al Axioma de Elección), el teorema de Hahn-Banach o la existencia de bases en espacios vectoriales de dimensión infinita requieren, en su demostración, razonamientos impredicativos o apelaciones al Axioma de Elección que ningún predicativista consecuente puede aceptar.

Ahora bien, ¿convierte esto al predicativismo en una posición marginal o meramente testimonial? No necesariamente. El valor del predicativismo no reside únicamente en su capacidad para reconstruir la matemática clásica, sino en su función crítica: en su insistencia en preguntar, ante cada nuevo objeto o teorema, si su existencia ha sido genuinamente construida o meramente declarada. El predicativismo es, por así decirlo, la conciencia filosófica de la matemática, la voz del Pastor que, desde los márgenes, sigue recordando al Sacerdote que no todo lo que brilla en el cielo platónico es oro constructivo.

Además, el predicativismo ha resultado ser sorprendentemente fructífero en el desarrollo de nuevas ramas de la matemática. La teoría de la demostración, la teoría de tipos y la matemática constructiva contemporánea —que beben, en mayor o menor medida, de fuentes predicativistas— han producido resultados de gran interés tanto matemático como filosófico. El programa de Feferman, en particular, ha inspirado investigaciones sobre los fundamentos de la matemática que no se limitan a la mera exégesis de los sistemas clásicos, sino que exploran activamente las posibilidades y los límites de la construcción predicativa.

En última instancia, el predicativismo nos recuerda que la pregunta del Pastor —«¿Podemos jugar?»— no es una cuestión meramente técnica, sino una cuestión filosófica de primer orden. Porque jugar significa atenerse a reglas que podemos comprender y ejecutar; significa habitar un mundo matemático que no nos es dado como un paisaje ajeno e inaccesible, sino que vamos construyendo paso a paso, garabato a garabato, con nuestras manos todavía manchadas de barro.

§5. Conclusión: ¿Un rumor de la mente?

5.1. La ironía de una humillación

En el célebre pasaje de los Prolegómenos a toda metafísica futura, Kant se ufana de haber puesto a la metafísica en el «camino seguro de la ciencia» al tomar como modelo el proceder de la matemática. Mientras la metafísica había vagado durante siglos en disputas interminables, sin acumular un solo conocimiento incontrovertible, la matemática progresaba con paso firme, ampliando incesantemente su dominio mediante juicios sintéticos a priori. La diferencia, sostenía Kant, residía en que la matemática construía sus conceptos en la intuición pura, mientras que la metafísica pretendía volar con las alas de la mera razón especulativa, sin el lastre de la experiencia posible. La matemática era, pues, el espejo en el que la metafísica debía mirarse para aprender a caminar, es más, era la prueba viviente de que la razón pura podía conocer algo acerca del mundo sin caer en los castillos de naipes del dogmatismo.

La ironía de la historia —y es esta ironía la que ha guiado subterráneamente todo nuestro recorrido— es que la matemática, ese baluarte del kantismo, ha terminado por asemejarse cada vez más a aquello que debía humillar. Allí donde Kant veía construcción paso a paso en la intuición pura, la matemática post-cantoriana ha erigido un edificio de definiciones impredicativas, pruebas de existencia no constructivas y postulados de coherencia que no necesitan ser exhibidos en intuición alguna. Allí donde Kant exigía que el concepto fuera garabateado en el tiempo, el formalismo hilbertiano declara que los símbolos son meras fichas sin significado, y que su legitimidad descansa exclusivamente en la no contradicción del juego. Allí donde el Pastor kantiano preguntaba «¿Puedo recorrerlo paso a paso?», el Sacerdote moderno responde: «No importa: la lógica garantiza que existe».

La matemática, en suma, ha dejado de ser el paradigma de una ciencia que progresa mediante la construcción de conceptos en las formas puras de la sensibilidad. Se ha convertido, más bien, en el paradigma de una ciencia que progresa mediante la postulación de sistemas formales y la exploración de sus consecuencias deductivas. Y al hacerlo, ha difuminado la frontera que Kant había trazado con tanto celo entre el conocimiento sintético a priori y la especulación metafísica. El Axioma de Elección, en particular, consuma esta inversión. Se postula la existencia de una función de elección sobre una familia infinita de conjuntos sin proporcionar regla alguna para determinarla. Se declara que todo conjunto puede ser bien ordenado, pero no se exhibe ni un solo buen orden de los números reales. ¿Acaso no se asemeja este proceder a aquello que Kant denunciaba en la metafísica dogmática: la pretensión de obtener conocimiento acerca de objetos que trascienden toda experiencia posible mediante el mero análisis de conceptos? La matemática, que debía ser el juez implacable de la especulación metafísica, parece haberse convertido, en buena medida, en su más sofisticada cultivadora.

5.2. ¿Qué puede aprender hoy la metafísica de la matemática?

Llegados a este punto, la pregunta que Kant formuló —¿cómo son posibles los juicios sintéticos a priori?— debe ser reformulada en términos históricamente informados. No se trata ya de preguntar cómo es posible que la matemática progrese sobre fundamentos intuitivos incontrovertibles, porque la matemática ha demostrado que puede progresar espléndidamente sin ellos. Se trata, más bien, de preguntar qué significa este hecho para la relación entre matemática y metafísica, y si la metafísica puede aún extraer alguna lección del desarrollo de su antigua alumna aventajada.

Una primera respuesta, acaso la más obvia, sería pesimista: la metafísica ya no tiene nada que aprender de la matemática, porque la matemática ha dejado de ser el modelo de ciencia rigurosa que Kant creyó ver en ella. Si la matemática misma se ha entregado a especulaciones impredicativas y a postulados de existencia sin construcción, entonces el espejo se ha empañado. La metafísica no puede ya mirarse en la matemática para aprender a caminar con paso firme, a lo sumo, puede mirarse en ella para aprender a volar sin lastre, pero eso era justamente lo que Kant quería evitar.

Sin embargo, una segunda respuesta, más matizada, es posible. Quizá lo que la evolución de la matemática enseña a la metafísica no es cómo proceder, sino qué precio hay que pagar por ciertos tipos de conocimiento. La matemática clásica, con su aceptación del infinito actual y del Axioma de Elección, ha ganado en potencia deductiva y en capacidad expresiva, vale decir, ha podido demostrar teoremas de gran alcance y ha unificado dominios antes dispersos. Pero ha pagado un precio: ha renunciado a la exigencia de garabateabilidad, a la posibilidad de exhibir sus objetos en una intuición constructiva. Ha aceptado que ciertos enunciados sean verdaderos sin que podamos mostrar por qué lo son, más allá de su derivación formal.

¿Es este un precio que la metafísica esté dispuesta a pagar? ¿Puede la metafísica aspirar a un conocimiento que no esté anclado en alguna forma de intuición, ya sea empírica o pura? ¿O debe, por el contrario, mantenerse fiel a la exigencia del Pastor y no admitir objeto alguno que no pueda ser, en algún sentido relevante, garabateado? La respuesta a estas preguntas no es unívoca, y quizá ni siquiera corresponda darla al filósofo de la matemática. Pero lo que sí puede afirmarse es que la matemática contemporánea no ofrece un modelo único de legitimidad epistémica, sino un campo de tensiones entre exigencias contrapuestas: la potencia deductiva frente a la claridad constructiva, la elegancia formal frente a la evidencia intuitiva, la declaración frente al garabato.

Si la metafísica ha de aprender algo de esta situación, no es un método infalible, sino una lección de modestia. La matemática, que parecía el dominio más seguro del conocimiento humano, ha resultado ser un terreno surcado por fracturas profundas, donde conviven paradigmas rivales y donde la pregunta por los fundamentos sigue abierta. Si esto ocurre en la ciencia que Kant consideraba el paradigma de la certeza apodíctica, ¿qué no ocurrirá --y ocurre-- en la metafísica? La humillación, en este sentido, ha sido devuelta: no es ya la metafísica la que debe aprender de la matemática, sino la matemática la que, con sus propias perplejidades, recuerda a la metafísica que el conocimiento humano es, por esencia, una empresa frágil y siempre revisable.

5.3. Coda: Garabatear en la niebla

Regresemos, para terminar, a la imagen que abrió nuestro recorrido: la del Pastor y el Sacerdote dialogando en el crepúsculo de los pastizales. El Pastor exigía poder garabatear el número, en el otro lado, el Sacerdote se contentaba con declararlo. La historia de la matemática de los últimos ciento cincuenta años puede leerse como la progresiva emancipación del Sacerdote respecto del Pastor, pero también como la persistente resistencia del Pastor, que desde los márgenes sigue preguntando: «¿Podemos jugar?».

No hemos pretendido, en estas páginas, zanjar esta disputa. Nos hemos limitado a trazar el mapa de una transformación conceptual y a señalar sus implicaciones para la filosofía de la matemática y, tangencialmente, para la metafísica. Hemos mostrado que el modelo kantiano de los juicios sintéticos a priori, basado en la construcción en la intuición pura, ha sido progresivamente abandonado por la corriente principal de la matemática, sin que ello haya impedido el florecimiento de esta última. Hemos mostrado también que una corriente minoritaria —el predicativismo— ha mantenido viva la exigencia de garabateabilidad, ofreciendo un contrapunto crítico a la deriva declarativa de la matemática clásica.

Lo que no hemos hecho, ni podíamos hacer, es dictaminar cuál de estas dos almas de la matemática es la verdadera. Porque quizá la matemática, como la mente que la produce, sea ambas cosas a la vez: un rumor que la razón se cuenta a sí misma en la soledad de su gabinete, y un acto de construcción que se despliega en el barro húmedo de la intuición. O quizá, simplemente, sea un juego cuyas reglas aún estamos aprendiendo, y cuya naturaleza última se nos escapa como se escapa el número ganador en el juego de Fulano y Mengano: sabemos que tiene que haberlo, pero no podemos señalarlo.

El Pastor y el Sacerdote seguirán dialogando en el crepúsculo. Y mientras dialoguen, mientras la pregunta «¿Podemos jugar?» siga resonando, la matemática seguirá siendo, como quería Kant, un enigma para la razón y un acicate para la filosofía.

Referencias bibliográficas

Fuentes primarias

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Dedekind, Richard. Essays on the Theory of Numbers. Traducción de Wooster Woodruff Beman. Chicago: Open Court, 1901. [Contiene «Continuity and Irrational Numbers» (1872) y «The Nature and Meaning of Numbers» (1888).]

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Hilbert, David. «Über das Unendliche». Mathematische Annalen 95 (1926): 161-190. Traducción inglesa: «On the Infinite», en *From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931*, editado por Jean van Heijenoort, 367-392. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967.

Kant, Immanuel. Crítica de la razón pura. Traducción de Pedro Ribas. Madrid: Taurus, 2005. [Original alemán: Kritik der reinen Vernunft, 1781/1787.]

——— Prolegómenos a toda metafísica futura que haya de poder presentarse como ciencia. Traducción de Mario Caimi. Madrid: Istmo, 1999. [Original alemán: Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können, 1783.]

Poincaré, Henri. Science and Method. Traducción de Francis Maitland. Londres: Thomas Nelson and Sons, 1914. [Original francés: Science et méthode, 1908.]

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Weyl, Hermann. The Continuum: A Critical Examination of the Foundations of Analysis. Traducción de Stephen Pollard y Thomas Bole. Kirksville, MO: Thomas Jefferson University Press, 1987. [Original alemán: Das Kontinuum, 1918.]

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Fuentes secundarias e historiográficas

Feferman, Solomon. «Predicativity». En The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, editado por Stewart Shapiro, 590-624. Oxford: Oxford University Press, 2005.

Ferreiros, José. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. 2.ª ed. Basilea: Birkhäuser, 2007.

Grattan-Guinness, Ivor. *The Search for Mathematical Roots, 1870-1940: Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Gödel*. Princeton: Princeton University Press, 2000.

Launay, Mickaël. La gran novela de las matemáticas: de la prehistoria a la actualidad. [Original francés: Le grand roman des maths: de la préhistoire à nos jours. París: Flammarion, 2016.]

Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence. Nueva York: Springer, 1982.

Stewart, Ian. Mentes maravillosas: los matemáticos que cambiaron el mundo.. Barcelona: Crítica, 2018. [Original inglés: Significant Figures: The Lives and Work of Great Mathematicians. Londres: Profile Books, 2017.]

Lecturas complementarias sugeridas

Brouwer, L.E.J. «Intuitionism and Formalism». Bulletin of the American Mathematical Society 20 (1913): 81-96.

Feferman, Solomon, y G. Jäger. «Systems of Explicit Mathematics with Non-Constructive μ-Operator». Annals of Pure and Applied Logic 65, n.º 3 (1993): 243-263.

Gödel, Kurt. «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I». Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-198. Traducción inglesa: «On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I», en From Frege to Gödel, editado por Jean van Heijenoort, 596-616.

Hallett, Michael. Cantorian Set Theory and Limitation of Size. Oxford: Clarendon Press, 1984.

Parsons, Charles. Mathematics in Philosophy: Selected Essays. Ithaca, NY: Cornell University Press, 1983. [Especialmente los capítulos sobre Kant y la intuición matemática.]